نمذجة المدخلات: التقدير والاختبار والارتباط

تعمل نمذجة المدخلات (input modeling) على بيانات مسجلة. فهي تقدر معالم (parameters) البيانات وتختبر هل يناسبها توزيع مرشح وتفحص هل يعتمد متغيران أحدهما على الآخر. ونحل مسائل التمرين 4 الست كلها خطوة بخطوة.

الأهداف

• تقدير متوسط العينة (sample mean) وتباين العينة (sample variance) من جدول تكرارات.
• فحص استقلال متغيرين عشوائيين متقطعين مشتركين (jointly discrete).
• تقدير معالم البيانات التي تتبع التوزيع الطبيعي اللوغاريتمي (lognormal) من لوغاريتماتها الطبيعية.
• استخدام اختبار مربع كاي (chi-square) لفحص هل تتبع البيانات توزيع بواسون (Poisson).
• حساب القيمة المتوقعة $E$ والتباين $Var$ والتغاير $Cov$ والارتباط $Cor$ لمتغيرين عشوائيين متصلين مشتركين (jointly continuous).
• قياس الارتباط (correlation) بين متغيرين مسجلين.

1. ماذا يفعل هذا التمرين

يستخدم السؤال 1 والسؤال 4 البيانات نفسها: فالسؤال 4 يختبر بيانات الوصول في السؤال 1 ويستخدم متوسط السؤال 1.

2. متوسط العينة والتباين

السؤال 1: الوصول خلال 100 يوم

في وقت معين من اليوم ولمدة ثابتة (10 دقائق مثلا) يسجل عدد مرات الوصول (arrivals) خلال 100 يوم ويصنف كما في الجدول. قدر متوسط العينة والتباين.

كل صف فيه قيمة $m_j$ (عدد مرات الوصول في اليوم) وتكرارها $f_j$ (عدد الأيام). ويجهز العمودان الإضافيان المجموعين المطلوبين:

متوسط العينة:

$$\begin{aligned} \bar{X} &= \dfrac{\sum_{j=1}^{c} f_j m_j}{n} \\[6pt] \sum f_j m_j &= (0 \times 12) + (1 \times 10) \\ &\quad + \ldots + (11 \times 1) \\ &= 364 \\[6pt] \bar{X} &= \dfrac{364}{100} = 3.64 \end{aligned}$$

تباين العينة:

$$\begin{aligned} S^2 &= \dfrac{\sum_{j=1}^{c} f_j m_j^2 - n \bar{X}^2}{n - 1} \\[6pt] &= \dfrac{2080 - 100 (3.64)^2}{100 - 1} \\[6pt] &= \dfrac{2080 - 1324.96}{99} \\[6pt] &= 7.63 \end{aligned}$$

ملاحظة على ورقة التمرين. تكتب الورقة المجموع على صورة $(f_j m_j)^2$ وتفصله إلى $(0 \times 12)^2 + (1 \times 10)^2 + \ldots$. وبهذه الكتابة يكون المجموع 13684. والحد الصحيح هو $f_j m_j^2$ وهو يعطي 2080 التي تستخدمها الورقة نفسها. ولذلك فإن ناتجها 7.63 صحيح.

3. الاعتماد بين المتغيرات المتقطعة المشتركة

السؤال 2: دالة احتمال مشتركة

المتغير $X$ والمتغير $Y$ عشوائيان متقطعان مشتركان ودالتهما:

$$p(x, y) = \begin{cases} \dfrac{x + y}{30} & x = 0, 1, 2 \\ & \text{and } y = 0, 1, 2, 3 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

افحص الاعتماد بين المتغير $X$ والمتغير $Y$.

يكون المتغير $X$ والمتغير $Y$ مستقلين (independent) إذا تحقق $P_X(x) \, P_Y(y) = p(x, y)$. ونحصل على $P_X(x)$ بالجمع على كل قيم $y$:

$$\begin{aligned} P_X(x) &= \sum_{\text{all } y} p(x, y) \\[6pt] &= \sum_{y=0}^{3} \dfrac{x + y}{30} \\[6pt] &= \dfrac{x}{30} + \dfrac{x + 1}{30} + \dfrac{x + 2}{30} + \dfrac{x + 3}{30} \\[6pt] &= \dfrac{4x + 6}{30} = \dfrac{2x + 3}{15} \end{aligned}$$

ونحصل على $P_Y(y)$ بالجمع على كل قيم $x$:

$$\begin{aligned} P_Y(y) &= \sum_{\text{all } x} p(x, y) \\[6pt] &= \sum_{x=0}^{2} \dfrac{x + y}{30} \\[6pt] &= \dfrac{y}{30} + \dfrac{y + 1}{30} + \dfrac{y + 2}{30} \\[6pt] &= \dfrac{3y + 3}{30} = \dfrac{y + 1}{10} \end{aligned}$$

والآن نضرب:

$$\begin{aligned} P_X(x) \, P_Y(y) &= \dfrac{(2x + 3)(y + 1)}{15 \times 10} \\[6pt] &= \dfrac{2xy + 3y + 2x + 3}{150} \\[6pt] &\neq p(x, y) \end{aligned}$$

إذن المتغير $X$ والمتغير $Y$ غير مستقلين. وتبين ثلاث نقاط معنى عدم التساوي هذا:

يتطابق الطرفان عند (1, 2) بل عند كل نقطة فيها x = 1. لكن التطابق عند نقطة واحدة لا يثبت شيئا: فالاستقلال يحتاج إلى تطابق عند كل نقطة. ونقطة واحدة لا تتطابق تكفي لإثبات الاعتماد.

4. معالم التوزيع الطبيعي اللوغاريتمي (lognormal)

السؤال 3: معدل العائد على 10 استثمارات

لتوزيع طبيعي لوغاريتمي افترض أن لديك معدل العائد (rate of return) على 10 استثمارات: 18.8, 27.9, 21, 6.1, 37.4, 5, 22.9, 1, 3.1, 8.3.

ولتقدير معالم هذه البيانات نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكل قيمة:

المتوسط المقدر للوغاريتمات:

$$\begin{aligned} \sum x_i &= 2.9 + 3.3 + 3 + 1.8 + 3.6 \\ &\quad + 1.6 + 3.1 + 0 + 1.1 + 2.1 \\ &= 22.5 \\[6pt] \hat{\mu} &= \dfrac{22.5}{10} = 2.25 \end{aligned}$$

التباين المقدر حيث تعني $x_i$ هنا اللوغاريتمات ومجموع مربعاتها $\sum x_i^2 = 62.29$:

$$\begin{aligned} \hat{\sigma}^2 &= \dfrac{\sum_{i=1}^{10} x_i^2 - 10 \, \hat{\mu}^2}{10 - 1} \\[6pt] &= \dfrac{62.29 - 10 (2.25)^2}{9} \\[6pt] &= \dfrac{11.665}{9} = 1.30 \end{aligned}$$

ملاحظة على ورقة التمرين. تقرب الورقة $22.5 / 10$ إلى 2.3 ثم تستخدم 2.3 في التباين فتحصل على $(62.29 - 52.9) / 9 = 1.04$. وتقريب المتوسط قبل تربيعه يغير الناتج تغييرا كبيرا. والقيم الصحيحة من لوغاريتمات الورقة هي المتوسط $\hat{\mu} = 2.25$ والتباين $\hat{\sigma}^2 = 1.30$. أما مع اللوغاريتمات بدقتها الكاملة فهي المتوسط $\hat{\mu} = 2.27$ والتباين $\hat{\sigma}^2 = 1.32$.

5. اختبار توزيع: اختبار مربع كاي

السؤال 4: هل تتبع بيانات الوصول توزيع بواسون؟

استخدم اختبار مربع كاي لفحص هل تتبع البيانات التالية توزيع بواسون:

هذه بيانات السؤال 1 ولذلك n = 100 وتقدر المعلمة بالمتوسط: $\hat{\alpha} = 3.64$. وفرضية العدم (null hypothesis) $H_0$: البيانات تتبع توزيع بواسون. وللرمز $\alpha$ معنيان في هذا السؤال: $\hat{\alpha} = 3.64$ هي معلمة بواسون أما $\alpha = 0.05$ فيما بعد فهي مستوى المعنوية (level of significance).

تعطي دالة احتمال بواسون التكرار المتوقع (expected frequency):

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{-\alpha} \alpha^x}{x!} & x = 0, 1, 2, \ldots \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ $$E_i = n \, f(x)$$

لأول قيمتين:

$$\begin{aligned} f(0) &= e^{-3.64} = 0.0263 \\ E &= 100 \times 0.0263 = 2.6 \\[6pt] f(1) &= 3.64 \, e^{-3.64} = 0.0956 \\ E &= 100 \times 0.0956 = 9.6 \end{aligned}$$

ملاحظة على ورقة التمرين. مقام $f(x)$ في الورقة مكتوب $x$ مع رمز سفلي. والصواب هو المضروب $x!$. وتسمي الورقة $f(x)$ دالة كثافة احتمال (probability density function) مع أن $x$ هنا متقطع. وتقتطع أيضا 0.0956 إلى 0.095 فتحصل على $E = 9.5$. والتقريب الصحيح يعطي $E = 9.6$.

وبالطريقة نفسها لكل القيم:

تدمج الفترات ذات القيم الصغيرة (مثل $\le 5$) مع الفترات المجاورة لها. وهنا تنضم x = 0 إلى x = 1 وتنضم القيم من x = 7 إلى x = 11 في فترة واحدة فتبقى 7 فترات. ثم نحسب $(O_i - E_i)^2 / E_i$ لكل فترة:

مثلا للفترة الأولى:

$$\dfrac{(22 - 12.2)^2}{12.2} = 7.87$$

ثم تكون الإحصاءة:

$$\begin{aligned} \chi_0^2 &= \sum_{i=1}^{7} \dfrac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \\[6pt] &= 7.87 + 0.15 + 0.80 + 4.41 \\ &\quad + 2.57 + 0.26 + 11.63 \\ &= 27.69 \end{aligned}$$

من جدول مربع كاي نقرأ القيمة عند $\alpha = 0.05$ وعند عدد درجات الحرية (degrees of freedom) $k - s - 1$. وهنا k = 7 هو عدد الفترات بعد دمج الفترات الصغيرة أما s = 1 فهو عدد المعالم المقدرة للتوزيع المرشح:

$$\begin{aligned} k - s - 1 &= 7 - 1 - 1 = 5 \\ \chi^2_{0.05, \, 5} &= 11.1 \end{aligned}$$

بما أن $\chi_0^2 = 27.69 > \chi^2_{0.05, 5} = 11.1$ فإننا نرفض $H_0$: البيانات لا تتبع توزيع بواسون.

ملاحظة على ورقة التمرين. الحد في الورقة عند x = 6 هو 0.72 لكن $(7 - 8.5)^2 / 8.5 = 0.26$. وبسبب $E = 9.5$ تكتب أيضا المجموع 12.1 والحد 8.1 للفترة الأولى والصواب المجموع 12.2 والحد 7.87. والحد الأخير 11.62 يجب أن يقرب إلى 11.63 لأن $88.36 / 7.6 = 11.626$. ولذلك يصبح مجموع الورقة 28.37 والمجموع الصحيح 27.69 أو 27.63 إذا لم نقرب شيئا قبل الجمع. ولا يتغير القرار: فكل هذه المجاميع أكبر من 11.1.

جدول مربع كاي

هذا هو الجدول الموجود في الورقة حيث $\nu$ هي درجات الحرية. ويقرأ السؤال 4 الصف 5 في العمود $\chi^2_{0.05}$.

ملاحظة على ورقة التمرين. في العمود $\chi^2_{0.005}$ يظهر في الجدول المطبوع في الورقة الرقم 14.96 في الصف 4 والرقم 49.6 في الصف 25. والقيمة الصحيحة الأولى 14.86 والثانية 46.9 وهما المستخدمتان في الجدول أعلاه. ولا يقرأ السؤال 4 هذين الصفين.

6. المتغيرات المتصلة المشتركة

السؤال 5: الاعتماد والتغاير والارتباط

المتغير $X$ والمتغير $Y$ عشوائيان متصلان مشتركان ودالتهما:

$$f(x, y) = \begin{cases} y - x & 0 \le x \le 1 \\ & \text{and } 1 \le y \le 2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

(أ) افحص الاعتماد بين المتغير $X$ والمتغير $Y$. (ب) احسب $E(X)$ ثم $Var(X)$ ثم $E(Y)$ ثم $Var(Y)$ ثم $Cov(X, Y)$ ثم $Cor(X, Y)$.

السؤال 5 (أ): الاعتماد

نكامل على $y$ لنحصل على $f_X(x)$ ونكامل على $x$ لنحصل على $f_Y(y)$:

$$\begin{aligned} f_X(x) &= \int_{1}^{2} f(x, y) \, dy \\[6pt] &= \int_{1}^{2} (y - x) \, dy \\[6pt] &= \left[ \dfrac{y^2}{2} - xy \right]_{y=1}^{2} \\[6pt] &= \dfrac{3}{2} - x, \quad 0 \le x \le 1 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} f_Y(y) &= \int_{0}^{1} f(x, y) \, dx \\[6pt] &= \int_{0}^{1} (y - x) \, dx \\[6pt] &= \left[ yx - \dfrac{x^2}{2} \right]_{x=0}^{1} \\[6pt] &= y - \dfrac{1}{2}, \quad 1 \le y \le 2 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} f_X(x) \, f_Y(y) &= \left( \dfrac{3}{2} - x \right) \left( y - \dfrac{1}{2} \right) \\[6pt] &\neq f(x, y) \end{aligned}$$

إذن المتغير $X$ والمتغير $Y$ غير مستقلين.

السؤال 5 (ب): المتوسطان والتباينان

$$\begin{aligned} E(X) &= \int_{0}^{1} x \left( \dfrac{3}{2} - x \right) dx \\[6pt] &= \left[ \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \\[6pt] &= \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{12} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} E(X^2) &= \int_{0}^{1} x^2 \left( \dfrac{3}{2} - x \right) dx \\[6pt] &= \left[ \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} \\[6pt] &= \dfrac{3}{6} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} Var(X) &= E(X^2) - [E(X)]^2 \\[6pt] &= \dfrac{1}{4} - \left( \dfrac{5}{12} \right)^2 \\[6pt] &= \dfrac{36 - 25}{144} = \dfrac{11}{144} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} E(Y) &= \int_{1}^{2} y \left( y - \dfrac{1}{2} \right) dy \\[6pt] &= \left[ \dfrac{y^3}{3} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{y^2}{2} \right]_{1}^{2} \\[6pt] &= \dfrac{7}{3} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{19}{12} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} E(Y^2) &= \int_{1}^{2} y^2 \left( y - \dfrac{1}{2} \right) dy \\[6pt] &= \left[ \dfrac{y^4}{4} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{y^3}{3} \right]_{1}^{2} \\[6pt] &= \dfrac{15}{4} - \dfrac{7}{6} = \dfrac{31}{12} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} Var(Y) &= E(Y^2) - [E(Y)]^2 \\[6pt] &= \dfrac{31}{12} - \left( \dfrac{19}{12} \right)^2 \\[6pt] &= \dfrac{372 - 361}{144} = \dfrac{11}{144} \end{aligned}$$

السؤال 5 (ب): التغاير والارتباط

$$\begin{aligned} E(XY) &= \int_{x=0}^{1} \int_{y=1}^{2} xy \, f(x, y) \, dy \, dx \\[6pt] &= \int_{x=0}^{1} \int_{y=1}^{2} xy (y - x) \, dy \, dx \\[6pt] &= \int_{x=0}^{1} \left[ \dfrac{x y^3}{3} - \dfrac{x^2 y^2}{2} \right]_{y=1}^{2} dx \\[6pt] &= \int_{x=0}^{1} \left( \dfrac{7x}{3} - \dfrac{3x^2}{2} \right) dx \\[6pt] &= \left[ \dfrac{7x^2}{6} - \dfrac{3x^3}{6} \right]_{0}^{1} \\[6pt] &= \dfrac{7}{6} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \end{aligned}$$

ملاحظة على ورقة التمرين. السطر الثاني من هذا التكامل في الورقة مكتوب بالصورة $xy(x - y)$. وبما أن $f(x, y) = y - x$ فإن الصواب هو $xy(y - x)$. ومع $x - y$ كان الناتج سيصبح $-2/3$. والسطر التالي في الورقة مبني على $y - x$ ولذلك فإن القيمة 2/3 صحيحة. وتكتب الورقة هذه القيمة المتوقعة على صورة $E(x, y)$ وهي القيمة المتوقعة لحاصل الضرب $XY$. وتكتب أيضا التكامل المزدوج بالصورة dx dy مع أن سطرها التالي يكامل على y أولا ولذلك نكتبه هنا بالصورة dy dx.

$$\begin{aligned} Cov(X, Y) &= E(XY) - E(X) E(Y) \\[6pt] &= \dfrac{2}{3} - \left( \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{19}{12} \right) \\[6pt] &= \dfrac{96 - 95}{144} = \dfrac{1}{144} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} Cor(X, Y) &= \dfrac{Cov(X, Y)}{\hat{\sigma}_1 \hat{\sigma}_2} \\[6pt] &= \dfrac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X) \, Var(Y)}} \\[6pt] &= \dfrac{1 / 144}{\sqrt{\dfrac{11}{144} \cdot \dfrac{11}{144}}} \\[6pt] &= \dfrac{1 / 144}{11 / 144} = \dfrac{1}{11} \end{aligned}$$

7. الارتباط من بيانات مسجلة

السؤال 6: زمن التوريد والطلب

في نموذج مخزون (inventory model) يمثل $X_1$ متوسط زمن توريد الطلبية (lead time) بالشهور ويمثل $X_2$ الطلب السنوي (annual demand) خلال آخر 10 سنوات:

افحص هل يوجد ارتباط بين زمن التوريد والطلب. متوسط العينة وتباين العينة هما:

$$\mu = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}, \qquad S^2 = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n \mu^2}{n - 1}$$

المتوسطان:

$$\begin{aligned} \mu_1 &= \dfrac{6.5 + 4.3 + \cdots + 6.3}{10} \\[6pt] &= \dfrac{61.4}{10} = 6.14 \\[6pt] \mu_2 &= \dfrac{103 + 83 + \cdots + 96}{10} \\[6pt] &= \dfrac{1018}{10} = 101.8 \end{aligned}$$

تباين زمن التوريد وانحرافه المعياري (standard deviation) المقدر:

$$\begin{aligned} \sum x_i^2 &= (6.5)^2 + (4.3)^2 + \cdots + (6.3)^2 \\ &= 386.44 \\[6pt] S_1^2 &= \dfrac{386.44 - 10 (6.14)^2}{9} \\[6pt] &= \dfrac{386.44 - 376.996}{9} \\[6pt] &= 1.05 \\[6pt] \hat{\sigma}_1 &= \sqrt{1.05} = 1.025 \end{aligned}$$

تباين الطلب السنوي وانحرافه المعياري المقدر:

$$\begin{aligned} \sum x_i^2 &= (103)^2 + (83)^2 + \cdots + (96)^2 \\ &= 104520 \\[6pt] S_2^2 &= \dfrac{104520 - 10 (101.8)^2}{9} \\[6pt] &= \dfrac{104520 - 103632.4}{9} \\[6pt] &= 98.6 \\[6pt] \hat{\sigma}_2 &= \sqrt{98.6} = 9.93 \end{aligned}$$

التغاير:

$$\widehat{Cov}(X_1, X_2) = \dfrac{\sum_{j=1}^{n} X_{1j} X_{2j} - n \, \mu_1 \mu_2}{n - 1}$$ $$\begin{aligned} \sum X_{1j} X_{2j} &= (103 \times 6.5) + (83 \times 4.3) \\ &\quad + \cdots + (96 \times 6.3) \\ &= 6328.5 \\[6pt] n \, \mu_1 \mu_2 &= 10 \times 6.14 \times 101.8 \\ &= 6250.52 \\[6pt] \widehat{Cov} &= \dfrac{6328.5 - 6250.52}{9} = 8.66 \end{aligned}$$

معامل الارتباط:

$$\begin{aligned} \hat{\rho} &= \dfrac{\widehat{Cov}(X_1, X_2)}{\hat{\sigma}_1 \hat{\sigma}_2} \\[6pt] &= \dfrac{8.66}{1.025 \times 9.93} = 0.85 \end{aligned}$$

القيمة قريبة من 1. إذن المتغير $X_1$ والمتغير $X_2$ مرتبطان ارتباطا موجبا قويا جدا.

ملاحظة على ورقة التمرين. تضيف الورقة: «إذا كان $X_1 < \mu_1$ فإن $X_2 < \mu_2$ وإذا كان $X_1 > \mu_1$ فإن $X_2 > \mu_2$». وهذا اتجاه وليس قاعدة: يتبعه 8 من 10 سنوات ولا تتبعه السنة (5.8, 106) ولا السنة (6.3, 96).

8. الأخطاء الشائعة

1. تربيع حاصل الضرب كله. حد التباين هو $f_j m_j^2$. ففي السؤال 1 يكون مجموع $(f_j m_j)^2$ هو 13684 وليس 2080.
2. تقريب المتوسط قبل تربيعه. في السؤال 3 يؤدي استخدام 2.3 بدلا من 2.25 إلى تحويل التباين من 1.30 إلى 1.04.
3. التوقف عند نقطة واحدة متطابقة. في السؤال 2 يتطابق الطرفان عند كل نقطة فيها x = 1 ومع ذلك فإن المتغير $X$ والمتغير $Y$ غير مستقلين.
4. نسيان المضروب. مقام بواسون هو $x!$. وهو يؤثر في كل تكرار متوقع ابتداء من x = 2.
5. درجات حرية خطأ. احسب k بعد دمج الفترات الصغيرة واطرح s للمعلمة المقدرة: 7 - 1 - 1 = 5 في السؤال 4 وليس 12 - 1 = 11.
6. عكس القرار. الإحصاءة الأكبر من قيمة الجدول تعني أننا نرفض $H_0$.

9. تدريب

حل كل مسألة ثم راجع الإجابات في نهاية هذه الصفحة. وكلها تستخدم بيانات هذا التمرين وجدوله.

1. في السؤال 2 قارن $p(x, y)$ بـ$P_X(x) \, P_Y(y)$ عند النقطة (2, 0).
2. في السؤال 4 احسب $f(2)$ والتكرار المتوقع $E$ من القانون.
3. في السؤال 4 أعد القرار عند $\alpha = 0.01$.
4. في السؤال 5 كامل $f(x, y)$ على مداها كله وأعط الناتج.
5. أعد السؤال 3 باللوغاريتمات مقربة إلى خانتين عشريتين واحسب المتوسط $\hat{\mu}$ والتباين $\hat{\sigma}^2$.

أهم النقاط

• من جدول التكرارات يستخدم متوسط العينة $\sum f_j m_j$ ويستخدم تباين العينة $\sum f_j m_j^2$.
• لا يكون المتغيران مستقلين إلا إذا ساوى حاصل ضرب توزيعيهما الدالة المشتركة عند كل نقطة.
• في بيانات التوزيع الطبيعي اللوغاريتمي خذ اللوغاريتم الطبيعي أولا ثم احسب متوسط اللوغاريتمات وتباينها.
• مربع كاي: احسب $E_i = n \, f(x)$ وادمج الفترات الصغيرة واجمع $(O_i - E_i)^2 / E_i$ ثم قارن بالجدول عند $k - s - 1$ من درجات الحرية.
• التباين $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ والتغاير $Cov(X, Y) = E(XY) - E(X) E(Y)$.
• $Cor = Cov / (\sigma_1 \sigma_2)$: القيمة القريبة من 1 تعني ارتباطا موجبا قويا.

الإجابات

التدريب 1

$p(2, 0) = 2 / 30 = 10 / 150$. ولدينا $P_X(2) = 7 / 15$ مع $P_Y(0) = 1 / 10$ فيكون حاصل الضرب $7 / 150$. والقيمتان غير متطابقتين كما هو متوقع من متغيرين غير مستقلين.

التدريب 2

$$\begin{aligned} f(2) &= \dfrac{e^{-3.64} (3.64)^2}{2!} = 0.1739 \\[6pt] E &= 100 \times 0.1739 = 17.4 \end{aligned}$$

وهذه هي القيمة الموجودة في جدول السؤال 4.

التدريب 3

تبقى درجات الحرية 5 ويعطي الجدول $\chi^2_{0.01, 5} = 15.1$. وبما أن $27.69 > 15.1$ فإننا نرفض $H_0$ أيضا.

التدريب 4

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} (y - x) \, dy \, dx &= \int_{0}^{1} \left( \dfrac{3}{2} - x \right) dx \\[6pt] &= \left[ \dfrac{3x}{2} - \dfrac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} \\[6pt] &= \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = 1 \end{aligned}$$

التدريب 5

اللوغاريتمات هي 2.93, 3.33, 3.04, 1.81, 3.62, 1.61, 3.13, 0, 1.13, 2.12. ومجموعها 22.72 ولذلك $\hat{\mu} = 2.272$. ومجموع مربعاتها 63.46 ولذلك:

$$\begin{aligned} \hat{\sigma}^2 &= \dfrac{63.46 - 10 (2.272)^2}{9} \\[6pt] &= \dfrac{63.46 - 51.62}{9} \\[6pt] &= 1.32 \end{aligned}$$