محمود عباس، مهندس برمجيات Full-stack والذكاء الاصطناعي

النمذجة والمحاكاة (2026-2027) - نمذجة المدخلات: التقدير والاختبار والارتباط

في نافذة الطباعة اختر «حفظ كملف PDF» كوجهة.

النمذجة والمحاكاة - الدرس 4

نمذجة المدخلات: التقدير والاختبار والارتباط

تقدير المعالم من البيانات واختبار توزيع مرشح وقياس الاعتماد بين المتغيرات: حل التمرين 4 خطوة بخطوة.

الأهداف

تقدير متوسط العينة (sample mean) والتباين (variance) من جدول تكرارات
فحص استقلال متغيرين عشوائيين متقطعين مشتركين (jointly discrete)
تقدير معالم التوزيع الطبيعي اللوغاريتمي (lognormal) من اللوغاريتمات الطبيعية
استخدام اختبار مربع كاي (chi-square) لفحص هل تتبع البيانات توزيع بواسون (Poisson)
حساب القيمة المتوقعة E والتباين Var والتغاير Cov والارتباط Cor لمتغيرين متصلين مشتركين (jointly continuous)
قياس الارتباط (correlation) بين متغيرين مسجلين

الجزء 1

ماذا يفعل هذا التمرين

ستة أسئلة وأربع مهام

أربع مهام في ستة أسئلة

المهمة	الأسئلة
تقدير المعالم من البيانات	السؤال 1 والسؤال 3
اختبار توزيع مرشح	السؤال 4
فحص الاعتماد	السؤال 2 والسؤال 5
قياس الارتباط	السؤال 5 والسؤال 6

الجزء 2

متوسط العينة والتباين

السؤال 1: عدد مرات الوصول المسجل في 100 يوم

السؤال 1

السؤال 1: الوصول خلال 100 يوم

في وقت معين من اليوم ولمدة ثابتة (10 دقائق مثلا) يسجل عدد مرات الوصول
يغطي التسجيل 100 يوم مصنفة حسب عدد مرات الوصول في اليوم
المطلوب تقدير متوسط العينة والتباين

السؤال 1

السؤال 1: القيم من 0 إلى 4

m	التكرار f	f × m	f × m²
0	12	0	0
1	10	10	10
2	19	38	76
3	17	51	153
4	10	40	160

السؤال 1

السؤال 1: القيم من 5 إلى 9

m	التكرار f	f × m	f × m²
5	8	40	200
6	7	42	252
7	5	35	245
8	5	40	320
9	3	27	243

السؤال 1

السؤال 1: القيمة 10 والقيمة 11 والمجاميع

m	التكرار f	f × m	f × m²
10	3	30	300
11	1	11	121
المجموع	100	364	2080

السؤال 1

السؤال 1: متوسط العينة

X̄ = ∑cj=1 f_j m_jn

∑ f_j m_j = (0 × 12) + (1 × 10)

+ ... + (11 × 1) = 364

X̄ = 364100 = 3.64

السؤال 1

السؤال 1: تباين العينة

S² = ∑cj=1 f_j m_j² - n X̄²n - 1

S² = 2080 - 100 (3.64)²100 - 1

S² = 2080 - 1324.9699

S² = 7.63

السؤال 1

خطأ في ورقة التمرين

الجزء 3

الاعتماد بين المتغيرات المتقطعة

السؤال 2: دالة احتمال مشتركة

السؤال 2

السؤال 2: هل المتغيران مستقلان؟

p(x, y) = x + y30

عند x = 0, 1, 2
وعند y = 0, 1, 2, 3
وفي غير ذلك p(x, y) = 0

P_X(x) P_Y(y) = p(x, y)

السؤال 2

السؤال 2: توزيع X بالجمع على y

P_X(x) = ∑3y=0 x + y30

= x30 + x + 130

+ x + 230 + x + 330

= 4x + 630 = 2x + 315

السؤال 2

السؤال 2: توزيع Y بالجمع على x

P_Y(y) = ∑2x=0 x + y30

= y30 + y + 130 + y + 230

= 3y + 330 = y + 110

السؤال 2

السؤال 2: حاصل الضرب

P_X(x) P_Y(y) = (2x + 3)(y + 1)15 × 10

= 2xy + 3y + 2x + 3150 ≠ p(x, y)

السؤال 2

السؤال 2: ثلاث نقاط

النقطة	p(x, y)	حاصل الضرب	تطابق
(0, 0)	0 / 150	3 / 150	لا
(1, 2)	15 / 150	15 / 150	نعم
(2, 3)	25 / 150	28 / 150	لا

الجزء 4

معالم التوزيع الطبيعي اللوغاريتمي (lognormal)

السؤال 3: معدل العائد على 10 استثمارات

السؤال 3

السؤال 3: 10 استثمارات

معدل العائد على الاستثمارات:
18.8, 27.9, 21, 6.1, 37.4
5, 22.9, 1, 3.1, 8.3
البيانات تتبع التوزيع الطبيعي اللوغاريتمي: المطلوب تقدير معالمها

السؤال 3

السؤال 3: اللوغاريتمات الطبيعية

x	ln x	x	ln x
18.8	2.9	5	1.6
27.9	3.3	22.9	3.1
21	3	1	0
6.1	1.8	3.1	1.1
37.4	3.6	8.3	2.1

السؤال 3

السؤال 3: المتوسط المقدر

2.9 + 3.3 + 3 + 1.8 + 3.6

+ 1.6 + 3.1 + 0 + 1.1 + 2.1

= 22.5

μ = 22.510 = 2.25

السؤال 3

السؤال 3: التباين المقدر

σ² = ∑10i=1 x_i² - 10 μ²10 - 1

∑10i=1 x_i² = 62.29

σ² = 62.29 - 10 (2.25)²9

= 11.6659 = 1.30

السؤال 3

خطأ في ورقة التمرين

62.29 - 52.99 = 1.04

الجزء 5

اختبار توزيع: مربع كاي

السؤال 4: هل تتبع بيانات الوصول توزيع بواسون؟

السؤال 4

السؤال 4: المعطيات

بيانات السؤال 1: n = 100 يوم
فرضية العدم H0: البيانات تتبع توزيع بواسون
تقدر المعلمة بالمتوسط: α = 3.64

السؤال 4

السؤال 4: التكرار المتوقع

f(x) = e^-α α^xx!

E_i = n f(x)

تنطبق f(x) عند x = 0, 1, 2, ...
وفي غير ذلك f(x) = 0
E هو التكرار المتوقع إذا صحت H0

السؤال 4

السؤال 4: قيم x من 0 إلى 1

f(0) = e^-3.64 = 0.0263

E = 100 × 0.0263 = 2.6

f(1) = 3.64 e^-3.64 = 0.0956

E = 100 × 0.0956 = 9.6

السؤال 4: القيمتان

خطأ في ورقة التمرين

السؤال 4

السؤال 4: قيم x من 0 إلى 4

x	المشاهد O	f(x)	المتوقع E
0	12	0.0263	2.6
1	10	0.0956	9.6
2	19	0.1739	17.4
3	17	0.2110	21.1
4	10	0.1920	19.2

السؤال 4

السؤال 4: قيم x من 5 إلى 9

x	المشاهد O	f(x)	المتوقع E
5	8	0.1398	14.0
6	7	0.0848	8.5
7	5	0.0441	4.4
8	5	0.0201	2.0
9	3	0.0081	0.8

السؤال 4

السؤال 4: قيم x من 10 إلى 11

x	المشاهد O	f(x)	المتوقع E
10	3	0.0030	0.3
11	1	0.0010	0.1

السؤال 4

السؤال 4: دمج الفترات الصغيرة

الفترة x	O	E
0, 1	12 + 10 = 22	2.6 + 9.6 = 12.2
7 إلى 11	17	7.6

السؤال 4

السؤال 4: الحدود من 1 إلى 5

الفترة x	O	E	(O - E)² / E
0, 1	22	12.2	7.87
2	19	17.4	0.15
3	17	21.1	0.80
4	10	19.2	4.41
5	8	14.0	2.57

السؤال 4

السؤال 4: الحد 6 والحد 7

الفترة x	O	E	(O - E)² / E
6	7	8.5	0.26
7 إلى 11	17	7.6	11.63

(22 - 12.2)²12.2 = 7.87

السؤال 4

السؤال 4: الإحصاءة

χ₀² = ∑7i=1 (O_i - E_i)²E_i

χ₀² = 7.87 + 0.15 + 0.80

+ 4.41 + 2.57 + 0.26 + 11.63

= 27.69

السؤال 4

السؤال 4: درجات الحرية

k = 7: عدد الفترات بعد الدمج
s = 1: عدد المعالم المقدرة
α = 0.05: مستوى المعنوية

k - s - 1 = 7 - 1 - 1 = 5

χ²_{0.05, 5} = 11.1

السؤال 4

السؤال 4: قراءة الجدول

الجدول الكامل في صفحة الدرس

ν	χ² 0.025	χ² 0.05	χ² 0.10
3	9.35	7.81	6.25
4	11.14	9.49	7.78
5	12.8	11.1	9.2
6	14.4	12.6	10.6
7	16.0	14.1	12.0

السؤال 4

السؤال 4: القرار

χ₀² = 27.69 > χ²_{0.05, 5} = 11.1

السؤال 4: الإحصاءة

خطأ في ورقة التمرين

(7 - 8.5)²8.5 = 0.26

88.367.6 = 11.63

جدول مربع كاي

خطأ في ورقة التمرين

الجزء 6

المتغيرات المتصلة المشتركة

السؤال 5: الاعتماد والتغاير والارتباط

السؤال 5

السؤال 5: الدالة المشتركة

f(x, y) = y - x

عند 0 ≤ x ≤ 1 مع 1 ≤ y ≤ 2 وفي غير ذلك f(x, y) = 0
(أ) افحص الاعتماد بين المتغير X والمتغير Y
(ب) احسب E(X) ثم Var(X) ثم E(Y) ثم Var(Y) ثم Cov(X, Y) ثم Cor(X, Y)

السؤال 5

السؤال 5 (أ): دالة X وحده

f_X(x) = ∫21 f(x, y) dy

= ∫21 (y - x) dy

= [ y²2 - xy ]_y=1²

f_X(x) = 32 - x

0 ≤ x ≤ 1

السؤال 5

السؤال 5 (أ): دالة Y وحده

f_Y(y) = ∫10 f(x, y) dx

= ∫10 (y - x) dx

= [ yx - x²2 ]_x=0¹

f_Y(y) = y - 12

1 ≤ y ≤ 2

السؤال 5

السؤال 5 (أ): القرار

f_X(x) f_Y(y) = (32 - x)(y - 12)

≠ f(x, y)

السؤال 5

السؤال 5 (ب): E(X)

E(X) = ∫10 x (32 - x) dx

= [ 32 · x²2 - x³3 ]₀¹

= 34 - 13 = 512

السؤال 5

السؤال 5 (ب): E(X²)

E(X²) = ∫10 x² (32 - x) dx

= [ 32 · x³3 - x⁴4 ]₀¹

= 36 - 14 = 14

السؤال 5

السؤال 5 (ب): Var(X)

Var(X) = E(X²) - [E(X)]²

= 14 - (512)²

= 36 - 25144 = 11144

السؤال 5

السؤال 5 (ب): E(Y)

E(Y) = ∫21 y (y - 12) dy

= [ y³3 - 12 · y²2 ]₁²

= 73 - 34 = 1912

السؤال 5

السؤال 5 (ب): E(Y²)

E(Y²) = ∫21 y² (y - 12) dy

= [ y⁴4 - 12 · y³3 ]₁²

= 154 - 76 = 3112

السؤال 5

السؤال 5 (ب): Var(Y)

Var(Y) = E(Y²) - [E(Y)]²

= 3112 - (1912)²

= 372 - 361144 = 11144

السؤال 5

السؤال 5 (ب): E(XY): التكامل

E(XY) = ∫10 ∫21 xy f(x, y) dy dx

= ∫10 ∫21 xy (y - x) dy dx

= ∫10 [ x y³3 - x² y²2 ]_y=1² dx

السؤال 5

السؤال 5 (ب): E(XY): القيمة

= ∫1x=0 (7x3 - 3x²2) dx

= [ 7x²6 - 3x³6 ]₀¹

E(XY) = 76 - 12 = 46 = 23

السؤال 5

خطأ في ورقة التمرين

السؤال 5

السؤال 5 (ب): Cov(X, Y)

Cov(X, Y) = E(XY) - E(X) E(Y)

= 23 - (512 · 1912)

= 96 - 95144 = 1144

السؤال 5

السؤال 5 (ب): Cor(X, Y)

Cor(X, Y) = Cov(X, Y)σ₁ σ₂

= Cov(X, Y)√(Var(X) Var(Y))

= 1 / 144√((11 / 144) (11 / 144))

= 1 / 14411 / 144

Cor(X, Y) = 111

الجزء 7

الارتباط من بيانات مسجلة

السؤال 6: زمن التوريد والطلب

السؤال 6

السؤال 6: زمن التوريد والطلب

X1: متوسط زمن التوريد بالشهور. X2: الطلب السنوي. 10 سنوات.

X1	X2	X1	X2
6.5	103	6.9	104
4.3	83	5.8	106
6.9	116	7.3	109
6	97	4.5	92
6.9	112	6.3	96

السؤال 6

السؤال 6: المتوسطان

μ = ∑ni=1 x_in

μ₁ = 6.5 + 4.3 + ... + 6.310

= 61.410 = 6.14

μ₂ = 103 + 83 + ... + 9610

= 101810 = 101.8

السؤال 6

السؤال 6: تباين زمن التوريد

S² = ∑ni=1 x_i² - n μ²n - 1

S₁² = 386.44 - 10 (6.14)²9

= 386.44 - 376.9969

= 1.05

σ₁ = √(1.05) = 1.025

السؤال 6

السؤال 6: تباين الطلب

S₂² = 104520 - 10 (101.8)²9

= 104520 - 103632.49

= 98.6

σ₂ = √(98.6) = 9.93

السؤال 6

السؤال 6: التغاير

Cov = ∑nj=1 X_1j X_2j - n μ₁ μ₂n - 1

∑ X_1j X_2j = (103 × 6.5)

+ ... + (96 × 6.3) = 6328.5

n μ₁ μ₂ = 10 × 6.14 × 101.8

= 6250.52

Cov = 6328.5 - 6250.529

= 8.66

السؤال 6

السؤال 6: معامل الارتباط

ρ = Cov(X₁, X₂)σ₁ σ₂

= 8.661.025 × 9.93 = 0.85

السؤال 6

خطأ في ورقة التمرين

الجزء 8

الأخطاء الشائعة

والتدريب

الأخطاء الشائعة

حد التباين هو f m² وليس (f m)²
لا تقرب المتوسط قبل الانتهاء من التباين
التطابق عند نقطة واحدة لا يثبت الاستقلال
مقام بواسون هو x!
درجات الحرية: k - s - 1 مع حساب k بعد الدمج
الإحصاءة الأكبر من قيمة الجدول تعني أننا نرفض H0

تدريب

السؤال 2: قارن p(x, y) بحاصل ضرب التوزيعين عند (2, 0)
السؤال 4: احسب f(2) ثم E من القانون
السؤال 4: أعد القرار عند α = 0.01
السؤال 5: كامل f(x, y) على مداها كله
السؤال 3: أعد الحل باللوغاريتمات إلى خانتين عشريتين

أهم النقاط

من جدول التكرارات: يستخدم المتوسط Σ f m ويستخدم التباين Σ f m²
الاستقلال لا يتحقق إلا إذا ساوى حاصل الضرب الدالة المشتركة عند كل نقطة
التوزيع الطبيعي اللوغاريتمي: خذ اللوغاريتم الطبيعي أولا
مربع كاي: E = n f(x) ثم ادمج الفترات الصغيرة ثم قارن عند k - s - 1
التباين Var(X) هو E(X²) مطروحا منه [E(X)]² والتغاير Cov هو E(XY) مطروحا منه E(X)E(Y)
Cor = Cov / (σ1 σ2): القرب من 1 يعني ارتباطا موجبا قويا

افتح هذا الدرس

Mahmoud Abasنمذجة المدخلات: التقدير والاختبار والارتباط

المهمة

الأسئلة

تقدير المعالم من البيانات

السؤال 1 والسؤال 3

اختبار توزيع مرشح

السؤال 4

فحص الاعتماد

السؤال 2 والسؤال 5

قياس الارتباط

السؤال 5 والسؤال 6

التكرار f

f × m

f × m²

153

160

التكرار f

f × m

f × m²

200

252

245

320

243

التكرار f

f × m

f × m²

300

121

المجموع

100

364

2080

النقطة

p(x, y)

حاصل الضرب

تطابق

(0, 0)

0 / 150

3 / 150

لا

(1, 2)

15 / 150

نعم

(2, 3)

25 / 150

28 / 150

لا

ln x

18.8

2.9

1.6

27.9

3.3

22.9

3.1

6.1

1.8

3.1

1.1

37.4

3.6

8.3

2.1

المشاهد O

f(x)

المتوقع E

0.0263

2.6

0.0956

9.6

0.1739

17.4

0.2110

21.1

0.1920

19.2

المشاهد O

f(x)

المتوقع E

0.1398

14.0

0.0848

8.5

0.0441

4.4

0.0201

2.0

0.0081

0.8

المشاهد O

f(x)

المتوقع E

0.0030

0.3

0.0010

0.1

الفترة x

0, 1

12 + 10 = 22

2.6 + 9.6 = 12.2

7 إلى 11

7.6

الفترة x

(O - E)² / E

0, 1

12.2

7.87

17.4

0.15

21.1

0.80

19.2

4.41

14.0

2.57

الفترة x

(O - E)² / E

8.5

0.26

7 إلى 11

7.6

11.63

χ² 0.025

χ² 0.05

χ² 0.10

9.35

7.81

6.25

11.14

9.49

7.78

12.8

11.1

9.2

14.4

12.6

10.6

16.0

14.1

12.0

6.5

103

6.9

104

4.3

5.8

106

6.9

116

7.3

109

4.5

6.9

112

6.3