محمود عباس، مهندس برمجيات Full-stack والذكاء الاصطناعي

النمذجة والمحاكاة، الدرس 2

طابور بخادم واحد: المحاكاة حدثا بعد حدث

تتبع التمثيل الحاسوبي لطابور FIFO حدثا بعد حدث، من t = 0 حتى ينتهي التأخير السادس.

الأهداف

استرجاع مفاهيم الطوابير التي تحتاجها المحاكاة: الوصول (arrival)، والخدمة (service)، وFIFO، والتأخير في الطابور (delay in queue)، وQ(t) وB(t)
وصف كيف ينظم برنامج الأحداث المتقطعة (discrete-event) حول تقديم الزمن إلى الحدث التالي (next-event time advance)
تسمية كل متغير حالة (state variable)، وقائمة الأحداث (event list)، والعدادات الإحصائية (statistical counters) الأربعة
تطبيق قواعد التحديث الدقيقة لروتيني حدث الوصول وحدث المغادرة (departure)
تتبع الأحداث الـ13 كلها في التمرين حتى t = 8.6 وإعداد كل لقطة (snapshot)
حساب d(n) وq(n) وu(n) في مولد التقارير (report generator) وبيان معناها

الجزء 1

مفاهيم الطوابير التي نحتاجها

مراجعة قصيرة للمحاضرة 2

العناصر الأساسية لنظام الطابور

العميل (customer): أي شيء يصل إلى منشأة ويحتاج إلى خدمة: أشخاص، آلات، شاحنات، رسائل بريد إلكتروني.

الخادم (server): أي مورد يقدم الخدمة. وهو في أي لحظة إما مشغول (busy) أو خامل (idle).

مجتمع العملاء (calling population): العملاء المحتملون، ونعده هنا غير محدود
سعة النظام (system capacity): غير محدودة في هذا التمرين، فلا يرفض أي عميل
العميل المنتظر يكون في الطابور، أما العميل الذي تجري خدمته فهو داخل النظام لكنه ليس في الطابور

الوصول: من أزمنة ما بين الوصول إلى أزمنة الوصول

A(i) هو زمن ما بين الوصول (inter-arrival time) للعميل i-1 والعميل i
زمن الوصول هو المجموع التراكمي: العميل 2 يصل عند 0.4 + 1.2 = 1.6
S(i) هو زمن الخدمة (service time) للعميل i، ونكتب A1 وS1 للعميل 1، وهكذا
كلاهما متغير عشوائي مستقل ومتماثل التوزيع (IID)، وغالبا ما يكون أسيا (وصول بواسون، Poisson)

مدخلات التمرين: العملاء من 1 إلى 5

كل زمن وصول هو زمن الوصول السابق زائد A(i)

العميل (customer)	A(i)	زمن الوصول	S(i)
1	0.4	0.4	2.0
2	1.2	1.6	0.7
3	0.5	2.1	0.2
4	1.7	3.8	1.1
5	0.2	4.0	3.7

مدخلات التمرين: العملاء من 6 إلى 9

العميل (customer)	A(i)	زمن الوصول	S(i)
6	1.6	5.6	0.6
7	0.2	5.8
8	1.4	7.2
9	1.9	9.1

قاعدة الطابور

القاعدة التي تحدد أي عميل منتظر يخدم بعد ذلك حين يتحرر الخادم.

FIFO: الداخل أولا يخرج أولا
LIFO: الداخل أخيرا يخرج أولا
SIRO: الخدمة بترتيب عشوائي
SPT: أقصر زمن معالجة أولا
PR: الخدمة حسب الأولوية

التأخير في الطابور

التأخير D(i): الزمن الذي ينتظره العميل i في الطابور: زمن بدء الخدمة مطروحا منه زمن الوصول.

الخادم خامل عند الوصول: تبدأ الخدمة فورا، فيكون D(i) = 0
الخادم مشغول: ينتظر العميل حتى يتحرر الخادم، مثلا D2 = 2.4 - 1.6 = 0.8
التأخير الصفري يحتسب مع ذلك تأخيرا مرصودا
زمن المغادرة هو زمن الوصول زائد التأخير زائد زمن الخدمة

دالتان سلميتان: Q(t) و B(t)

Q(t): عدد العملاء في الطابور عند الزمن t (دون احتساب العميل الذي تجري خدمته).

B(t): دالة الانشغال (busy function): 1 إذا كان الخادم مشغولا عند الزمن t، و0 إذا كان خاملا.

كلتاهما لا تتغير إلا عند حدث، فهما ثابتتان بين أي حدثين
المساحة تحت كل منحنى مجموع مستطيلات: القيمة مضروبة في طول الفترة
المساحتان تغذيان المتوسطين الزمنيين، q(n) وu(n)

مقاييس الأداء الثلاثة

d(n) = ∑ni=1 D_in

q(n) = ∫T(n)0 Q(t) dtT(n)

u(n) = ∫T(n)0 B(t) dtT(n)

قاعدة التوقف

يتوقف التشغيل حين يرصد n تأخيرا في الطابور، وهنا n = 6
يجري الفحص بعد كل حدث: هل بلغ عدد التأخيرات القيمة n؟
في التمرين يحدث ذلك عند t = 8.6: يغادر العميل 5 ويبدأ العميل 6 خدمته
إذن T(6) = 8.6، ويقسم عليه كلا المتوسطين الزمنيين

الجزء 2

كيف ينظم البرنامج

من المحاضرة 1

تقديم الزمن إلى الحدث التالي

اضبط ساعة المحاكاة (simulation clock) على 0
اقرأ أزمنة الأحداث المستقبلية من قائمة الأحداث
قدم الساعة إلى الحدث الأقرب، أي أصغر زمن في القائمة
نفذ ذلك الحدث، أي تحديث الحالة والعدادات، وربما قائمة الأحداث
كرر حتى تتحقق قاعدة التوقف (stopping rule)

ما يحفظه نموذج الأحداث المتقطعة

جانب البيانات في النموذج

حالة النظام (system state): متغيرات تصف النظام الآن
ساعة المحاكاة: الزمن المحاكى الحالي
قائمة الأحداث: زمن الحدث التالي من كل نوع
العدادات الإحصائية: تجمع كميات المخرجات

روتينات نموذج الأحداث المتقطعة

جانب الشيفرة في النموذج

روتين التهيئة (initialization routine): يهيئ النموذج عند الزمن 0
روتين التوقيت (timing routine): يحدد الحدث التالي ويقدم الساعة
روتين الحدث (event routine): روتين لكل نوع حدث، يتولى تحديث الحالة
روتين المكتبة (library routine): يولد قيما عشوائية (random variates)
مولد التقارير: يحسب المقاييس في النهاية
البرنامج الرئيسي (main program): يستدعي الروتينات الأخرى بالترتيب الصحيح

مسار البرنامج الرئيسي

البداية

روتين التهيئة

ضبط الساعة على 0، الحالة، العدادات، قائمة الأحداث

روتين التوقيت

نوع الحدث التالي i، وتقديم الساعة

روتين الحدث i

الحالة، العدادات، الأحداث المستقبلية

انتهت المحاكاة؟

لا: عودة إلى روتين التوقيت

نعم

مولد التقارير

التقديرات، كتابة التقرير

الجزء 3

التمثيل الحاسوبي

الحالة، وقائمة الأحداث، والعدادات، وقواعد التحديث

متغيرات حالة النظام

المتغير	المحتوى	عند t = 0
حالة الخادم	`1` مشغول، `0` خامل	0
العدد في الطابور	العملاء المنتظرون، دون العميل الذي في الخدمة	0
أزمنة الوصول	زمن وصول كل عميل منتظر، بترتيب الطابور	فارغة
زمن آخر حدث	قيمة الساعة عند الحدث السابق	0

الساعة وقائمة الأحداث

البند	المحتوى	عند t = 0
الساعة	الزمن المحاكى الحالي	0
الوصول التالي A	زمن الوصول التالي	`A1 = 0.4`
المغادرة التالية D	زمن المغادرة التالية	∞

العدادات الإحصائية

العداد	يجمع	عند t = 0
عدد التأخيرات	التأخيرات المرصودة حتى الآن	0
إجمالي التأخير	مجموع تلك التأخيرات	0
المساحة تحت Q(t)	طول الطابور مضروبا في الزمن منذ آخر حدث	0
المساحة تحت B(t)	حالة الخادم مضروبة في الزمن منذ آخر حدث	0

القاعدة 1: تحديث المساحتين أولا

∫t0 Q = ∫τ0 Q + Q(τ) × (t - τ)

∫t0 B = ∫τ0 B + B(τ) × (t - τ)

t هو قيمة الساعة الجديدة، وτ زمن آخر حدث
Q(τ) وB(τ) هما القيمتان قبل أن يغيرهما هذا الحدث
ثم اضبط زمن آخر حدث τ على t

القاعدة 2: روتين حدث الوصول

تحديث المساحتين بالحالة السابقة
جدولة الوصول التالي: A = t + A(i+1)، حيث t قيمة الساعة وi العميل الذي يصل الآن
الخادم مشغول: إضافة 1 إلى العدد في الطابور، وتخزين قيمة الساعة في الموقع الفارغ التالي من مصفوفة أزمنة الوصول
الخادم خامل: التأخير 0، وإضافة 1 إلى عدد التأخيرات، وجعل حالة الخادم 1، وجدولة D = t + S لهذا العميل
جعل زمن آخر حدث مساويا للساعة

القاعدة 3: روتين حدث المغادرة

الفرعان جنبا إلى جنب؛ وt قيمة الساعة

الخطوة	الطابور فارغ	الطابور غير فارغ
1	تحديث المساحتين	تحديث المساحتين
2	جعل حالة الخادم 0	التأخير: الساعة ناقص أول زمن في المصفوفة
3	`D = ∞`	إضافته إلى إجمالي التأخير، وإضافة 1 إلى عدد التأخيرات
4	جعل زمن آخر حدث مساويا للساعة	جدولة `D = t + S` للعميل الجديد
5		طرح 1 من العدد في الطابور، وإزاحة المصفوفة إلى الأمام

الجزء 4

التتبع حدثا بعد حدث

13 حدثا، من t = 0 إلى t = 8.6. تعرض كل شريحة القيم التي يغيرها الحدث فقط، أما الساعة وزمن آخر حدث فينتقلان دائما إلى زمن الحدث. واللقطات الكاملة موجودة في صفحة الدرس. توقع النتيجة قبل كل كشف.

الحدث 1 من 13

t = 0.4: وصول العميل 1

قائمة الأحداث: A = 0.4 وD = ∞. الأصغر هو A، فتنتقل الساعة وزمن آخر حدث إلى 0.4.

البند	قبل	بعد	الحساب
حالة الخادم	0	1	يبدأ العميل 1 خدمته فورا
الوصول التالي A	0.4	1.6	`0.4 + 1.2` (`A2`)
المغادرة التالية D	∞	2.4	`0.4 + 2.0` (`S1`)
عدد التأخيرات (إجمالي التأخير)	0 (0)	1 (0)	التأخير `0`، ويحتسب مع ذلك

الحدثان 2 و3 من 13

t = 1.6 و t = 2.1: العميلان 2 و3 ينضمان إلى الطابور

كلاهما وصول إلى خادم مشغول: في كل مرة يكون A أصغر من D = 2.4.

البند	بعد t = 1.6	بعد t = 2.1
الطابور (أزمنة الوصول)	1 (1.6)	2 (1.6, 2.1)
الوصول التالي A	2.1	3.8
المساحة تحت Q(t)	0	0.5
المساحة تحت B(t)	1.2	1.7

الحدث 4 من 13

t = 2.4: مغادرة العميل 1

قائمة الأحداث: A = 3.8 وD = 2.4. الأصغر هو D، فتنتقل الساعة وزمن آخر حدث إلى 2.4.

البند	قبل	بعد	الحساب
الطابور (أزمنة الوصول)	2 (1.6, 2.1)	1 (2.1)	يدخل العميل 2 إلى الخدمة، وتزاح المصفوفة إلى الأمام
المغادرة التالية D	2.4	3.1	`2.4 + 0.7` (`S2`)
عدد التأخيرات (إجمالي التأخير)	1 (0)	2 (0.8)	التأخير `2.4 - 1.6 = 0.8`، ويقرأ قبل الإزاحة

الحدث 4 من 13

t = 2.4: المساحتان

البند	قبل	بعد	الحساب
المساحة تحت Q(t)	0.5	1.1	`0.5 + 2 × (2.4 - 2.1)`
المساحة تحت B(t)	1.7	2.0	`1.7 + 1 × (2.4 - 2.1)`

الحدث 5 من 13

t = 3.1: مغادرة العميل 2

قائمة الأحداث: A = 3.8 وD = 3.1. الأصغر هو D، فتنتقل الساعة وزمن آخر حدث إلى 3.1.

البند	قبل	بعد	الحساب
الطابور (أزمنة الوصول)	1 (2.1)	0 (فارغة)	يدخل العميل 3 إلى الخدمة، وتزاح المصفوفة إلى الأمام
المغادرة التالية D	3.1	3.3	`3.1 + 0.2` (`S3`)
عدد التأخيرات (إجمالي التأخير)	2 (0.8)	3 (1.8)	التأخير `3.1 - 2.1 = 1.0`، ويقرأ قبل الإزاحة
المساحة تحت Q(t)	1.1	1.8	`1.1 + 1 × (3.1 - 2.4)`
المساحة تحت B(t)	2.0	2.7	`2.0 + 1 × (3.1 - 2.4)`

الحدث 6 من 13

t = 3.3: مغادرة العميل 3

قائمة الأحداث: A = 3.8 وD = 3.3. الأصغر هو D، فتنتقل الساعة وزمن آخر حدث إلى 3.3.

البند	قبل	بعد	الحساب
حالة الخادم	1	0	الطابور فارغ: يصبح الخادم خاملا
المغادرة التالية D	3.3	∞	لا أحد في الخدمة
المساحة تحت B(t)	2.7	2.9	`2.7 + 1 × (3.3 - 3.1)`

الحدث 7 من 13

t = 3.8: وصول العميل 4

قائمة الأحداث: A = 3.8 وD = ∞. الأصغر هو A، فتنتقل الساعة وزمن آخر حدث إلى 3.8.

البند	قبل	بعد	الحساب
حالة الخادم	0	1	يبدأ العميل 4 خدمته فورا
الوصول التالي A	3.8	4.0	`3.8 + 0.2` (`A5`)
المغادرة التالية D	∞	4.9	`3.8 + 1.1` (`S4`)
عدد التأخيرات (إجمالي التأخير)	3 (1.8)	4 (1.8)	التأخير `0`، ويحتسب مع ذلك

الحدث 8 من 13

t = 4.0: وصول العميل 5

قائمة الأحداث: A = 4.0 وD = 4.9. الأصغر هو A، فتنتقل الساعة وزمن آخر حدث إلى 4.0.

البند	قبل	بعد	الحساب
الطابور (أزمنة الوصول)	0 (فارغة)	1 (4.0)	ينضم العميل 5، ويخزن الزمن `4.0` في الموقع 1
الوصول التالي A	4.0	5.6	`4.0 + 1.6` (`A6`)
المساحة تحت B(t)	2.9	3.1	`2.9 + 1 × (4.0 - 3.8)`

الحدث 9 من 13

t = 4.9: مغادرة العميل 4

قائمة الأحداث: A = 5.6 وD = 4.9. الأصغر هو D، فتنتقل الساعة وزمن آخر حدث إلى 4.9.

البند	قبل	بعد	الحساب
الطابور (أزمنة الوصول)	1 (4.0)	0 (فارغة)	يدخل العميل 5 إلى الخدمة، وتزاح المصفوفة إلى الأمام
المغادرة التالية D	4.9	8.6	`4.9 + 3.7` (`S5`)
عدد التأخيرات (إجمالي التأخير)	4 (1.8)	5 (2.7)	التأخير `4.9 - 4.0 = 0.9`، ويقرأ قبل الإزاحة
المساحة تحت Q(t)	1.8	2.7	`1.8 + 1 × (4.9 - 4.0)`
المساحة تحت B(t)	3.1	4.0	`3.1 + 1 × (4.9 - 4.0)`

الأحداث 10 إلى 12 من 13

من t = 5.6 إلى t = 7.2: العملاء 6 و7 و8 ينضمون إلى الطابور

العميل 5 في الخدمة حتى D = 8.6، فتأتي ثلاثة وصولات أولا ويكبر الطابور إلى 3.

البند	بعد t = 5.6	بعد t = 5.8	بعد t = 7.2
الطابور (أزمنة الوصول)	1 (5.6)	2 (5.6, 5.8)	3 (5.6, 5.8, 7.2)
الوصول التالي A	5.8	7.2	9.1
المساحة تحت Q(t)	2.7	2.9	5.7
المساحة تحت B(t)	4.7	4.9	6.3

الحدث 13 من 13

t = 8.6: مغادرة العميل 5

قائمة الأحداث: A = 9.1 وD = 8.6. الأصغر هو D، فتنتقل الساعة وزمن آخر حدث إلى 8.6.

البند	قبل	بعد	الحساب
الطابور (أزمنة الوصول)	3 (5.6, 5.8, 7.2)	2 (5.8, 7.2)	يدخل العميل 6 إلى الخدمة، وتزاح المصفوفة إلى الأمام
المغادرة التالية D	8.6	9.2	`8.6 + 0.6` (`S6`)
عدد التأخيرات (إجمالي التأخير)	5 (2.7)	6 (5.7)	التأخير `8.6 - 5.6 = 3.0`، ويقرأ قبل الإزاحة

الحدث 13 من 13

t = 8.6: المساحتان، وانتهاء التشغيل

البند	قبل	بعد	الحساب
المساحة تحت Q(t)	5.7	9.9	`5.7 + 3 × (8.6 - 7.2)`
المساحة تحت B(t)	6.3	7.7	`6.3 + 1 × (8.6 - 7.2)`

التأخيرات الستة

انتظر 4 عملاء، ولم ينتظر العميلان الآخران.

العميل (customer)	الوصول	بدء الخدمة	التأخير
2	1.6	2.4	0.8
3	2.1	3.1	1.0
5	4.0	4.9	0.9
6	5.6	8.6	3.0

إجمالي التأخير

∑D_i = 0 + 0.8 + 1.0 + 0 + 0.9 + 3.0 = 5.7

الجزء 5

من العدادات إلى النتائج

Q(t) و B(t) ومولد التقارير

المساحة تحت Q(t)

اجمع الفترات حسب عدد المنتظرين

Q(t)	الفترات	الطول الكلي	المساحة
1	1.6 إلى 2.1، 2.4 إلى 3.1، 4.0 إلى 4.9، 5.6 إلى 5.8	2.3	2.3
2	2.1 إلى 2.4، 5.8 إلى 7.2	1.7	3.4
3	7.2 إلى 8.6	1.4	4.2

∫8.60 Q(t) dt = 2.3 + 3.4 + 4.2 = 9.9

B(t) والمساحة تحتها

خامل
من 0 إلى 0.4
مشغول
من 0.4 إلى 3.3
خامل
من 3.3 إلى 3.8
مشغول
من 3.8 إلى 8.6

∫8.60 B(t) dt = 1 × [(3.3 - 0.4) + (8.6 - 3.8)] = 2.9 + 4.8 = 7.7

مولد التقارير

يستدعيه البرنامج الرئيسي حين يصبح عدد التأخيرات = 6

d(6) = 5.76 = 0.95

q(6) = 9.98.6 = 1.15

u(6) = 7.78.6 = 0.90

قراءة النتائج

المقياس	القيمة	ما يقوله
`d(6)`	0.95	انتظر العميل في المتوسط 0.95 دقيقة في الطابور
`q(6)`	1.15	في المتوسط عبر الزمن، كان عدد المنتظرين في الطابور 1.15 عميل
`u(6)`	0.90	كان الخادم مشغولا 89.5 بالمئة من الوقت

الخطأ 1: المساحتان بالحالة الجديدة

الحدث عند t = 2.1: يصل العميل 3 ويزداد Q من 1 إلى 2

البند	خطأ	صواب
المساحة تحت Q(t)	`0 + 2 × (2.1 - 1.6) = 1.0`	`0 + 1 × (2.1 - 1.6) = 0.5`
يستخدم	طول الطابور بعد الوصول	طول الطابور الذي كان قائما خلال الفترة

الخطأ 2: نسيان ضبط D على اللانهاية

عند t = 3.3 يغادر العميل 3 ويكون الطابور فارغا
الصحيح: حالة الخادم 0 وD = ∞، فيكون الحدث التالي هو الوصول عند 3.8
إذا احتفظ D بزمن قديم، فقد يختار روتين التوقيت مغادرة لعميل غير موجود
ويجب أيضا أن تنخفض حالة الخادم إلى 0، فلا يضاف شيء إلى المساحة تحت B(t) من 3.3 إلى 3.8

الخطأ 3: إزاحة المصفوفة مبكرا

الحدث عند t = 2.4: المصفوفة قبل الحدث هي 1.6, 2.1

البند	خطأ	صواب
الترتيب	الإزاحة أولا، فتصبح المصفوفة `2.1`	التأخير أولا، ثم الإزاحة إلى `2.1`
التأخير	`2.4 - 2.1 = 0.3`: زمن وصول العميل 3، لا العميل 2	`2.4 - 1.6 = 0.8` للعميل 2

الخطأ 4: قاعدة التوقف

ليس عند وصول العميل 6 (5.6)
وليس عند مغادرة العميل 6 (9.2)
يتوقف التشغيل حين يبلغ عدد التأخيرات القيمة 6، عند t = 8.6، فيكون T(6) = 8.6
العملاء الذين ما زالوا في الطابور في تلك اللحظة لا يضيفون شيئا إلى إجمالي التأخير

الجزء 6

دورك

تشغيلان للتتبع، نحو 30 دقيقة

تدريب، نحو 10 دقائق

التشغيل 1: n = 4

i	A(i)	S(i)
1	0.5	1.2
2	0.3	0.6
3	1.8	0.7
4	0.4	1.1
5	0.6

تدريب، نحو 20 دقيقة

التشغيل 2: n = 5

i	A(i)	S(i)
1	1.0	1.4
2	0.5	0.8
3	0.6	0.5
4	2.5	1.2
5	0.3	1.3

قائمة فحص لكل حدث

اختر الأصغر من A وD، واضبط الساعة t عليه
أضف Q(τ) × (t - τ) وB(τ) × (t - τ) إلى المساحتين، حيث τ زمن آخر حدث
الوصول: جدولة A التالي، ثم انضمام العميل إلى الطابور أو بدء خدمته
المغادرة: الطابور الفارغ يعطي D = ∞، وإلا فالتأخير أولا ثم الإزاحة
اجعل زمن آخر حدث مساويا للساعة، وقارن عدد التأخيرات بـn

الإجابات

إجابات التشغيل 1: التأخيرات

العميل (customer)	الوصول	بدء الخدمة	التأخير
1	0.5	0.5	0
2	0.8	1.7	0.9
3	2.6	2.6	0
4	3.0	3.3	0.3

الإجابات

إجابات التشغيل 1: المساحتان والمقاييس

المقياس	الحساب	القيمة
المساحة تحت Q(t)	`0.9 + 0.3`	1.2
المساحة تحت B(t)	`1.8 + 0.7`	2.5
`d(4)`	`1.2 / 4`	0.30
`q(4)`	`1.2 / 3.3`	0.36
`u(4)`	`2.5 / 3.3`	0.76

الإجابات

إجابات التشغيل 2: التأخيرات

العميل (customer)	الوصول	بدء الخدمة	التأخير
1	1.0	1.0	0
2	1.5	2.4	0.9
3	2.1	3.2	1.1
4	4.6	4.6	0
5	4.9	5.8	0.9

الإجابات

إجابات التشغيل 2: المساحتان والمقاييس

المقياس	الحساب	القيمة
المساحة تحت Q(t)	`0.6 + 0.6 + 0.8 + 0.4 + 1.0`	3.4
المساحة تحت B(t)	`2.7 + 1.2`	3.9
`d(5)`	`2.9 / 5`	0.58
`q(5)`	`3.4 / 5.8`	0.59
`u(5)`	`3.9 / 5.8`	0.67

أهم النقاط

الساعة t تقفز من حدث إلى حدث: t = min(A, D)
في كل حدث يجري تحديث المساحتين أولا، بالحالة السابقة
الخادم الخامل يعني دائما D = ∞
المغادرة تقرأ التأخير قبل إزاحة مصفوفة أزمنة الوصول
ينتهي التشغيل حين يبلغ عدد التأخيرات القيمة n، وT(n) هو قيمة الساعة عندئذ
مولد التقارير يقسم: إجمالي التأخير على n، والمساحتين على T(n)

افتح هذا الدرس

Mahmoud Abasطابور الخادم الواحد: المحاكاة حدثا بعد حدث