محمود عباس، مهندس برمجيات Full-stack والذكاء الاصطناعي

النمذجة والمحاكاة، الدرس العملي 1

جداول المحاكاة يدويا

حول الاحتمالات إلى فترات أرقام عشوائية، ثم ابن جدول المحاكاة عميلا بعد عميل.

الأهداف

تحويل التوزيع الاحتمالي (probability distribution) إلى احتمالات تراكمية (cumulative probabilities) وفترات أرقام عشوائية (random-number intervals)
قراءة رقم عشوائي وتحويله إلى قيمة: زمن ما بين الوصول (inter-arrival time)، أو زمن الخدمة (service time)، أو فئة
بناء جدول محاكاة (simulation table) لطابور بخادم واحد (single-server queue)، عمودا بعد عمود
حساب متوسط زمن الانتظار (average waiting time) ومتوسط الزمن في النظام (average time in system) ومتوسط زمن الخمول (average idle time)
التعامل مع الوصول المجدول (scheduled arrivals) بزمن الساعة (clock time)، ومع مسائل فيها متغيران عشوائيان مستقلان
اكتشاف الأخطاء الشائعة: حدود الفترات، وmax()، والعميل الأول، والوحدات

من المحاضرة 1

موقع هذا الدرس من المقرر

المحاكاة (Simulation): تقليد عمليات منشأة أو إجراء ما، وعادة يكون ذلك باستخدام الحاسوب.

النظام (System): مجموعة من الكيانات (أشخاص، أجزاء، آلات، خوادم) تعمل وتتفاعل معا لتحقيق غاية ما.

النموذج (Model): مجموعة الافتراضات، المنطقية والرياضية، التي نضعها لدراسة النظام.

الجزء 1

الطريقة الأساسية

من جدول الاحتمالات إلى فترات الأرقام العشوائية

الوصفة ذات الخطوات الأربع

اكتب كل قيمة ممكنة مع احتمالها
اجمع الاحتمالات للحصول على الاحتمال التراكمي
أعط كل قيمة مجموعة من الأرقام العشوائية ذات الخانتين من 00 إلى 99، عددها يساوي احتمالها بالنسبة المئوية
اقرأ كل رقم عشوائي معطى: حدد الفترة التي يقع فيها، وخذ تلك القيمة

مثال محلول: أزمنة الخدمة 1 إلى 4 في السؤال 1

دورك: اجمع 0.10، 0.18، 0.22، 0.16، ثم حول كل مجموع إلى فترة

الزمن	الاحتمال	التراكمي	الفترة
1	0.10	0.10	00 - 09
2	0.18	0.28	10 - 27
3	0.22	0.50	28 - 49
4	0.16	0.66	50 - 65

مثال محلول: أزمنة الخدمة 5 إلى 8

تابع الجمع بدءا من 0.66: 0.14، 0.10، 0.05، 0.05

الزمن	الاحتمال	التراكمي	الفترة
5	0.14	0.80	66 - 79
6	0.10	0.90	80 - 89
7	0.05	0.95	90 - 94
8	0.05	1.00	95 - 99

قاعدة الفترة

L_k = C_k-1 × 100

H_k = C_k × 100 - 1

زمن الخدمة 2: التراكمي السابق 0.10، والتراكمي الحالي 0.28، فتكون الفترة 10 - 27
زمن الخدمة 3: السابق 0.28، والحالي 0.50، فتكون الفترة 28 - 49
الفترة الأخيرة تنتهي دائما عند 99، وهذا فحص سريع للتأكد من أنه لم يضع شيء

القيم المتساوية الاحتمال

أزمنة ما بين الوصول في السؤال 1 من 1 إلى 10: عشر قيم تتقاسم 100 رقم، 10 أرقام لكل قيمة

ما بين الوصول	الفترة	ما بين الوصول	الفترة
1	00 - 09	6	50 - 59
2	10 - 19	7	60 - 69
3	20 - 29	8	70 - 79
4	30 - 39	9	80 - 89
5	40 - 49	10	90 - 99

فحص سريع: اقرأ هذه الأرقام العشوائية

جدول أزمنة الخدمة في السؤال 1: 84، 27، 28، 50، 95

الرقم العشوائي	الفترة	زمن الخدمة
84	80 - 89	6
27	10 - 27	2
28	28 - 49	3
50	50 - 65	4
95	95 - 99	8

الجزء 2

جدول المحاكاة

صف لكل عميل، وصيغة لكل عمود

أعمدة التوقيت: الوصول والبداية والنهاية

T_i = T_i-1 + A_i

B_i = max(T_i, E_i-1)

E_i = B_i + S_i

أعمدة النتائج: الانتظار والزمن في النظام والخمول

D_i = B_i - T_i

W_i = E_i - T_i

I_i = B_i - E_i-1

الإجراء لعميل واحد

الرقم العشوائي 1

البحث في الفترات

ما بين الوصول

زمن الوصول

الرقم العشوائي 2

البحث في الفترات

زمن الخدمة

البداية

الأكبر من الوصول والنهاية السابقة

النهاية

الانتظار، الزمن في النظام، الخمول

لماذا max()؟ حالتان

العمود	الخادم متفرغ بالفعل	الخادم ما زال مشغولا
الوصول	بعد النهاية السابقة	قبل النهاية السابقة
البداية	عند الوصول	عند النهاية السابقة
الانتظار	`0`	النهاية السابقة ناقص الوصول، أكبر من `0`
الخمول	الوصول ناقص النهاية السابقة، أكبر من `0`	`0`

الجزء 3

ثلاث مسائل محلولة

السؤال 1 متجر البقالة، والسؤال 2 عيادة طبيب الأسنان، والسؤال 3 المصنع

التمرين 1

السؤال 1: متجر البقالة

نقطة خدمة واحدة؛ يصل العملاء بفاصل من 1 إلى 10 دقائق، وكل الأزمنة متساوية الاحتمال
زمن الخدمة من 1 إلى 8 دقائق باحتمالات 0.10, 0.18, 0.22, 0.16, 0.14, 0.10, 0.05, 0.05
الأرقام العشوائية لزمن ما بين الوصول: 92, 73, 02, 95, 31, 92, 75, 24, 23, 30
الأرقام العشوائية لزمن الخدمة: 84, 10, 74, 53, 17, 79, 91, 67, 89, 38
المطلوب: الوصول، وبداية الخدمة ونهايتها، وزمن الانتظار، والزمن في النظام، وزمن الخمول، والمتوسطات

السؤال 1، الخطوة 1: اقرأ الأرقام العشوائية، العملاء 1 إلى 5

الفترات من الجزء 1. الرقم العشوائي 1: 92, 73, 02, 95, 31؛ الرقم العشوائي 2: 84, 10, 74, 53, 17

العميل	ما بين الوصول (الرقم العشوائي 1)	الخدمة (الرقم العشوائي 2)
1	10 (92)	6 (84)
2	8 (73)	2 (10)
3	1 (02)	5 (74)
4	10 (95)	4 (53)
5	4 (31)	2 (17)

السؤال 1، الخطوة 1: اقرأ الأرقام العشوائية، العملاء 6 إلى 10

الرقم العشوائي 1: 92, 75, 24, 23, 30؛ الرقم العشوائي 2: 79, 91, 67, 89, 38

العميل	ما بين الوصول (الرقم العشوائي 1)	الخدمة (الرقم العشوائي 2)
6	10 (92)	5 (79)
7	8 (75)	7 (91)
8	3 (24)	5 (67)
9	3 (23)	6 (89)
10	4 (30)	3 (38)

السؤال 1: العميل 1

زمن ما بين الوصول 10، وزمن الخدمة 6، ولا أحد قبله

العمود	الحساب	القيمة
الوصول	0 + 10	10
البداية	الخادم متفرغ	10
النهاية	10 + 6	16
الانتظار	10 - 10	0
الزمن في النظام	16 - 10	6

السؤال 1: العميل 2

زمن ما بين الوصول 8، وزمن الخدمة 2، والنهاية السابقة 16

العمود	الحساب	القيمة
الوصول	10 + 8	18
البداية	max(18, 16)	18
النهاية	18 + 2	20
الانتظار	18 - 18	0
الخمول	18 - 16	2

السؤال 1: العميل 3

زمن ما بين الوصول 1، وزمن الخدمة 5، والنهاية السابقة 20

العمود	الحساب	القيمة
الوصول	18 + 1	19
البداية	max(19, 20)	20
النهاية	20 + 5	25
الانتظار	20 - 19	1
الخمول	20 - 20	0

السؤال 1: العملاء 4 إلى 7

دورك: أوجد كل وصول، ثم قارنه بالنهاية السابقة

العميل	الوصول	النهاية السابقة	الخمول
4	19 + 10 = 29	25	4
5	29 + 4 = 33	33	0
6	33 + 10 = 43	35	8
7	43 + 8 = 51	48	3

السؤال 1: العملاء 8 إلى 10، يتكون طابور

أزمنة ما بين وصول قصيرة 3، 3، 4 في مقابل أزمنة خدمة 5، 6، 3

العميل	الوصول	البداية (النهاية السابقة)	الانتظار
8	54	58	4
9	57	63	6
10	61	69	8

السؤال 1: النتيجة، العملاء 1 إلى 5

العميل	الانتظار	الزمن في النظام	الخمول
1	0	6	0
2	0	2	2
3	1	6	0
4	0	4	4
5	0	2	0

السؤال 1: النتيجة، العملاء 6 إلى 10

العميل	الانتظار	الزمن في النظام	الخمول
6	0	5	8
7	0	7	3
8	4	9	0
9	6	12	0
10	8	11	0

السؤال 1: المتوسطات

توقع أولا: من بين 10 عملاء، كم ينتظر العميل في المتوسط؟

∑D_iN = 1910 = 1.9

∑W_iN = 6410 = 6.4

∑I_iN = 1710 = 1.7

السؤال 1: التحقق من المتوسطات

دورك: أوجد متوسط زمن الخدمة، ثم أضفه إلى متوسط زمن الانتظار

من المحاضرة 2

امتداد: معدل استغلال الخادم (Server Utilization)

ρ = ∑S_iE_N

زمن الانشغال: مجموع أزمنة الخدمة، 45 دقيقة
يغادر آخر عميل عند 72، إذن يستمر التشغيل 72 دقيقة
الخمول على مدى التشغيل كله: 72 - 45 = 27 دقيقة

السؤال 1: معدل استغلال الخادم

دورك: اقسم زمن الانشغال على طول التشغيل

ρ = 4572 = 0.625 = 62.5%

التمرين 1

السؤال 2: عيادة طبيب الأسنان

6 مرضى بموعد مسبق: الأول عند 8:00، ثم مريض كل 45 دقيقة

الخدمة	زمن الخدمة	الاحتمال
حشو	45 دقيقة	0.40
تاج	60 دقيقة	0.15
تنظيف	20 دقيقة	0.15
خلع	45 دقيقة	0.10
فحص	15 دقيقة	0.20

السؤال 2: الفترات ثم العلاجات

التزم بترتيب الجدول، الحشو أولا. التراكمي: 0.40، 0.55، 0.70، 0.80، 1.00

الخدمة	الفترة	الأرقام العشوائية	المرضى
حشو	00 - 39	11، 34، 25	3، 4، 5
تاج	40 - 54	40	1
تنظيف	55 - 69	66	6
خلع	70 - 79	لا يوجد	لا يوجد
فحص	80 - 99	82	2

السؤال 2: العمل بزمن الساعة

المريض 1: تاج، 60 دقيقة. المريض 2: فحص، 15 دقيقة

العمود	المريض 1	المريض 2
الوصول	8:00	8:45
البداية	8:00، الطبيب متفرغ	9:00، بعد المريض 1
النهاية	9:00	9:15
الانتظار	0	9:00 - 8:45 = 15

السؤال 2: المرضى 3 إلى 6

دورك: قارن كل وصول بالنهاية السابقة

المريض	الوصول والبداية	الخدمة	النهاية
3	9:30	45	10:15
4	10:15	45	11:00
5	11:00	45	11:45
6	11:45	20	12:05

السؤال 2: متوسط زمن الانتظار

دورك: اجمع أزمنة انتظار كل المرضى (6)، ثم اقسم على 6

∑D_iN = 156 = 2.5

التمرين 1

السؤال 3: الوحدات والمركبات

المطلوب: متوسط الوحدات المنتجة ومتوسط المركبات المتاحة في اليوم، على مدى 10 أيام

الوحدات Xi	P(x = Xi)	المركبات Yi	P(y = Yi)
500	0.05	5	0.15
550	0.15	6	0.35
600	0.25	7	0.20
650	0.35	8	0.18
700	0.20	9	0.12

السؤال 3، الخطوة 1: جدولا الفترات

التراكمي: الوحدات 0.05, 0.20, 0.45, 0.80, 1.00؛ المركبات 0.15, 0.50, 0.70, 0.88, 1.00

الوحدات	الفترة	المركبات	الفترة
500	00 - 04	5	00 - 14
550	05 - 19	6	15 - 49
600	20 - 44	7	50 - 69
650	45 - 79	8	70 - 87
700	80 - 99	9	88 - 99

السؤال 3: الأيام 1 إلى 5

أرقام الوحدات 91, 73, 02, 95, 31؛ أرقام المركبات 84, 10, 74, 53, 17

اليوم	الوحدات (الرقم العشوائي 1)	المركبات (الرقم العشوائي 2)
1	700 (91)	8 (84)
2	650 (73)	5 (10)
3	500 (02)	8 (74)
4	700 (95)	7 (53)
5	600 (31)	6 (17)

السؤال 3: الأيام 6 إلى 10

أرقام الوحدات 93, 75, 24, 23, 30؛ أرقام المركبات 79, 91, 67, 89, 38

اليوم	الوحدات (الرقم العشوائي 1)	المركبات (الرقم العشوائي 2)
6	700 (93)	8 (79)
7	650 (75)	9 (91)
8	600 (24)	7 (67)
9	600 (23)	9 (89)
10	600 (30)	6 (38)

السؤال 3: المتوسطات

∑X_iN = 630010 = 630

∑Y_iN = 7310 = 7.3

الجزء 4

الأخطاء الشائعة

أين تضيع الدرجات، وكيف تراجع نفسك

أخطاء في الفترات

خطأ الحد بمقدار واحد: التراكمي 0.28 ينتهي عند 27 وليس 28
00 و99: 00 هو أول رقم و99 آخر رقم؛ عدد الأرقام 100 وليس 99
الجدول الخطأ: قراءة رقم خاص بالخدمة من جدول ما بين الوصول
الترتيب الخطأ: بناء الفترات بترتيب مختلف عن ترتيب جدول المسألة

أخطاء في الجدول

نسيان max(): بدء خدمة العميل عند وصوله بينما الخادم ما زال مشغولا
العميل الأول: راجع المسألة. في المحاضرة 1 يصل العميل 1 عند 0 بلا رقم عشوائي؛ وفي السؤال 1 يصل العميل 1 بعد أول زمن ما بين الوصول (10)
الخمول قبل العميل الأول: السؤال 1 يسجل 0 للعميل 1؛ صرح بوضوح إذا حسبت الفجوة من 0
الوحدات وزمن الساعة: 8:45 + 1:00 = 9:45 (إضافة 60 دقيقة)، وأزمنة الانتظار بالدقائق وليست أوقاتا على الساعة
المتوسطات: اقسم على عدد العملاء (أو الأيام)، وليس على آخر وقت على الساعة

مراجعة ذاتية قبل التسليم

الفترة الأخيرة في كل جدول تنتهي عند 99
في كل صف، الزمن في النظام يساوي زمن الانتظار زائد زمن الخدمة
في كل صف، يساوي أحد الزمنين على الأقل، الانتظار أو الخمول، القيمة 0
أزمنة الوصول لا تتناقص أبدا؛ ولا تبدأ أي خدمة قبل النهاية السابقة
المجاميع مكتوبة أسفل الأعمدة، والمتوسطات تستخدم العدد الصحيح

الجزء 5

تدريب: دورك

نحو 30 دقيقة. الإجابات تلي كل مسألة.

نحو 15 دقيقة

التدريب 1: مركز تصوير مستندات

آلة تصوير واحدة؛ يصل العملاء بفاصل من 1 إلى 5 دقائق، وكل الأزمنة متساوية الاحتمال
زمن الخدمة من 1 إلى 5 دقائق باحتمالات 0.10, 0.25, 0.30, 0.20, 0.15
الأرقام العشوائية لزمن ما بين الوصول: 85, 19, 98, 44, 53, 79, 52, 91
الأرقام العشوائية لزمن الخدمة: 64, 99, 70, 09, 60, 05, 56, 77
حاك 8 عملاء (يصل العميل 1 بعد أول زمن ما بين الوصول، كما في السؤال 1)
المطلوب: متوسط زمن الانتظار، ومتوسط الزمن في النظام، ومتوسط زمن الخمول

التدريب 1: الإجابة، الفترات

الزمن	فترة ما بين الوصول	التراكمي للخدمة	فترة الخدمة
1	00 - 19	0.10	00 - 09
2	20 - 39	0.35	10 - 34
3	40 - 59	0.65	35 - 64
4	60 - 79	0.85	65 - 84
5	80 - 99	1.00	85 - 99

التدريب 1: الإجابة، العملاء 1 إلى 4

العميل	الوصول	البداية	النهاية
1	5	5	8
2	6	8	13
3	11	13	17
4	14	17	18

التدريب 1: الإجابة، العملاء 5 إلى 8

العميل	الوصول	البداية	النهاية
5	17	18	21
6	21	21	22
7	24	24	27
8	29	29	33

التدريب 1: الإجابة، المتوسطات

∑D_iN = 88 = 1

∑W_iN = 328 = 4

∑I_iN = 48 = 0.5

التدريب 1: الإجابة، التحقق من المتوسطات

دورك: أوجد متوسط زمن الخدمة، ثم أضفه إلى متوسط زمن الانتظار

نحو 10 دقائق

التدريب 2: ورشة سيارات

6 سيارات بموعد مسبق: الأولى عند 9:00، ثم سيارة كل 40 دقيقة

الخدمة	زمن الخدمة	الاحتمال
تغيير الزيت	20 دقيقة	0.35
تغيير الإطارات	30 دقيقة	0.30
إصلاح الفرامل	50 دقيقة	0.20
صيانة شاملة	70 دقيقة	0.15

التدريب 2: الإجابة، الفترات

الخدمة	التراكمي	الفترة
تغيير الزيت	0.35	00 - 34
تغيير الإطارات	0.65	35 - 64
إصلاح الفرامل	0.85	65 - 84
صيانة شاملة	1.00	85 - 99

التدريب 2: الإجابة، السيارات 1 إلى 3

السيارة	الخدمة	البداية	الخمول قبلها
1	تغيير الإطارات، 30 دقيقة	9:00	0
2	تغيير الزيت، 20 دقيقة	9:40	10
3	صيانة شاملة، 70 دقيقة	10:20	20

التدريب 2: الإجابة، السيارات 4 إلى 6

السيارة	الخدمة	البداية	الانتظار
4	تغيير الزيت، 20 دقيقة	11:30	30
5	إصلاح الفرامل، 50 دقيقة	11:50	10
6	صيانة شاملة، 70 دقيقة	12:40	20
المجموع			60

التدريب 2: الإجابة، متوسط زمن الانتظار

∑D_iN = 606 = 10

نحو 8 دقائق

التدريب 3: مخبز

المطلوب: متوسط الطلبات في اليوم ومتوسط السائقين المتاحين في اليوم، على مدى 8 أيام

الطلبات Xi	P(x = Xi)	السائقون Yi	P(y = Yi)
20	0.10	2	0.25
30	0.40	3	0.45
40	0.30	4	0.20
50	0.20	5	0.10

التدريب 3: الإجابة، الفترات

الطلبات	الفترة	السائقون	الفترة
20	00 - 09	2	00 - 24
30	10 - 49	3	25 - 69
40	50 - 79	4	70 - 89
50	80 - 99	5	90 - 99

التدريب 3: الإجابة، الأيام 1 إلى 5

اليوم	الطلبات (الرقم العشوائي 1)	السائقون (الرقم العشوائي 2)
1	20 (09)	4 (70)
2	40 (55)	2 (24)
3	30 (10)	5 (95)
4	50 (89)	3 (25)
5	30 (49)	3 (69)

التدريب 3: الإجابة، الأيام 6 إلى 8

اليوم	الطلبات (الرقم العشوائي 1)	السائقون (الرقم العشوائي 2)
6	50 (80)	5 (90)
7	40 (50)	2 (00)
8	30 (26)	4 (89)
المجموع	290	28

∑X_iN = 2908 = 36.25 ∑Y_iN = 288 = 3.5

أهم النقاط

تتحول الاحتمالات إلى احتمالات تراكمية، ثم إلى فترات أرقام عشوائية تنتهي عند 99
يقرأ كل رقم عشوائي ويحول إلى قيمة من خلال جدوله الخاص
T(i) = T(i-1) + A(i) وB(i) = max(T(i), E(i-1))
D(i) = B(i) - T(i)، وW(i) = E(i) - T(i)، وI(i) = B(i) - E(i-1)
المجاميع أسفل الأعمدة، ثم القسمة على عدد العملاء أو الأيام

افتح هذا الدرس

Mahmoud Abasجداول المحاكاة يدويا