محمود عباس، مهندس برمجيات Full-stack والذكاء الاصطناعي

النمذجة والمحاكاة (2026-2027) - الأرقام العشوائية: التوليد والاختبار

في نافذة الطباعة اختر «حفظ كملف PDF» كوجهة.

النمذجة والمحاكاة - الدرس 3

الأرقام العشوائية: التوليد والاختبار

مولدان ينتجان الأرقام العشوائية وثلاثة اختبارات تفحصها: حل التمرين 3 خطوة بخطوة.

الأهداف

حساب قيم المولد الضربي (multiplicative generator) وإيجاد دورته وطول الدورة (period)
حساب أرقام عشوائية في [0, 1] باستخدام المولد الخطي المتطابق (linear congruential generator)
فحص الانتظام (uniformity) باستخدام اختبار كولموجوروف-سميرنوف (Kolmogorov-Smirnov)
فحص الانتظام باستخدام اختبار مربع كاي (chi-square)
فحص الاستقلال (independence) باستخدام اختبار الارتباط الذاتي (autocorrelation)
قراءة القيمة الحرجة (critical value) من الجدول الصحيح وبيان القرار

الجزء 1

ما المطلوب من الرقم العشوائي

الخاصيتان اللتان يفحصهما كل اختبار

خاصيتان

الخاصية	المعنى	الاختبار
الانتظام	كل جزء من `[0, 1]` ينال نصيبه العادل	كولموجوروف-سميرنوف ومربع كاي
الاستقلال	الرقم لا يخبر بشيء عن الأرقام التالية	الارتباط الذاتي

الجزء 2

توليد الأرقام العشوائية

المولد الضربي والمولد الخطي المتطابق (LCG)

المولد الضربي

Z_i = (a Z_i-1) mod m

Z0 هي البذرة وهي قيمة البداية
a هو المعامل الضربي وm هو المقياس
x mod m هو باقي القسمة x ÷ m لذا تقع كل Zi من 0 إلى m - 1

السؤال 1

السؤال 1 (أ): Z0 = 1, a = 11, m = 16

i	(11 × Z) mod 16	Zi
1	11 × 1 = 11 → 11	11
2	11 × 11 = 121 → 9	9
3	11 × 9 = 99 → 3	3
4	11 × 3 = 33 → 1	1
5	11 × 1 = 11 → 11	11 (تكرار)

السؤال 1

السؤال 1 (ب): Z0 = 2, a = 11, m = 16

i	(11 × Z) mod 16	Zi
1	11 × 2 = 22 → 6	6
2	11 × 6 = 66 → 2	2
3	11 × 2 = 22 → 6	6 (تكرار)

السؤال 1: الجزء 1 من 3

السؤال 1 (ج): Z0 = 1, a = 2, m = 13

i	(2 × Z) mod 13	Zi
1	2 × 1 = 2	2
2	2 × 2 = 4	4
3	2 × 4 = 8	8
4	2 × 8 = 16 → 3	3
5	2 × 3 = 6	6

السؤال 1: الجزء 2 من 3

السؤال 1 (ج): Z0 = 1, a = 2, m = 13

i	(2 × Z) mod 13	Zi
6	2 × 6 = 12	12
7	2 × 12 = 24 → 11	11
8	2 × 11 = 22 → 9	9
9	2 × 9 = 18 → 5	5
10	2 × 5 = 10	10

السؤال 1: الجزء 3 من 3

السؤال 1 (ج): Z0 = 1, a = 2, m = 13

i	(2 × Z) mod 13	Zi
11	2 × 10 = 20 → 7	7
12	2 × 7 = 14 → 1	1 (تكرار)

السؤال 1 (ج)

خطأ في ورقة التمرين

السؤال 1

السؤال 1 (د): Z0 = 2, a = 3, m = 13

i	(3 × Z) mod 13	Zi
1	3 × 2 = 6	6
2	3 × 6 = 18 → 5	5
3	3 × 5 = 15 → 2	2 (تكرار)

السؤال 1 في جدول واحد

الحالة	Z0, a, m	طول الدورة
(أ)	1, 11, 16	4 = m / 4
(ب)	2, 11, 16	2
(ج)	1, 2, 13	12 = m - 1
(د)	2, 3, 13	3

المولد الخطي المتطابق (LCG)

X_i = (a X_i-1 + c) mod m

R_i = X_im

c هي الزيادة وتضاف قبل أخذ الباقي
كل Xi عدد صحيح من 0 إلى m - 1
اقسم على m لتحصل على رقم عشوائي في [0, 1]

السؤال 2

السؤال 2: X0 = 27, a = 8, c = 47, m = 100

i	8 × X + 47	Xi	Ri
1	216 + 47 = 263	63	0.63
2	504 + 47 = 551	51	0.51
3	408 + 47 = 455	55	0.55

السؤال 2

خطأ في ورقة التمرين

الجزء 3

اختبار الانتظام

اختبار كولموجوروف-سميرنوف واختبار مربع كاي

اختباران وقاعدة قرار واحدة

الاختبار	الإحصاءة	الجدول
كولموجوروف-سميرنوف	`D`	القيم الحرجة لاختبار KS بحسب `N` و`α`
مربع كاي	`χ0²`	قيم مربع كاي بحسب درجات الحرية و`α`

اختبار كولموجوروف-سميرنوف

رتب الأرقام تصاعديا: R(1) ≤ R(2) ≤ ... ≤ R(N)
احسب D+ وهي أكبر مسافة فوق الخط المثالي
احسب D- وهي أكبر مسافة تحته
خذ D = max(D+, D-)
اقرأ Dα من جدول KS: إذا كانت D < Dα فلا نرفض H0

D+ و D-

D⁺ = max [ iN - R_(i) ]

D^- = max [ R_(i) - i - 1N ]

D = max (D⁺, D^-)

السؤال 3

السؤال 3: 0.54, 0.73, 0.98, 0.11, 0.68

اختبار كولموجوروف-سميرنوف عند α = 0.05 وN = 5

السؤال 3

السؤال 3: حساب D+

i	R(i)	i / N	i / N - R(i)
1	0.11	0.20	0.09
2	0.54	0.40	-0.14
3	0.68	0.60	-0.08
4	0.73	0.80	0.07
5	0.98	1.00	0.02

السؤال 3

السؤال 3: حساب D-

i	R(i)	(i - 1) / N	R(i) - (i - 1) / N
1	0.11	0.00	0.11
2	0.54	0.20	0.34
3	0.68	0.40	0.28
4	0.73	0.60	0.13
5	0.98	0.80	0.18

السؤال 3

السؤال 3: القرار

D = max (0.09, 0.34) = 0.34

D_0.05 = 0.565 (N = 5)

اختبار مربع كاي

قسم [0, 1] إلى n من الفترات المتساوية
عد Oi وهو عدد القيم التي تقع في الفترة i
العدد المتوقع في كل فترة: Ei = N / n
احسب χ0² وهي مجموع (Oi - Ei)² / Ei
اقرأ χ² عند α وn - 1 من درجات الحرية: إذا كانت χ0² أصغر فلا نرفض H0

إحصاءة مربع كاي

χ₀² = ∑ (O_i - E_i)²E_i

E_i = Nn

السؤال 4

السؤال 4: 100 رقم عند α = 0.05

N = 100 قيمة مدرجة كاملة في صفحة الدرس
n = 10 فترات: [0, 0.1] و(0.1, 0.2] ... و(0.9, 1.0]
يتوقع في كل فترة Ei = 100 / 10 = 10 قيم

السؤال 4

السؤال 4: الفترات 1 إلى 5

الفترة	Oi	Oi - Ei	(Oi - Ei)² / Ei
[0, 0.1]	8	-2	0.4
(0.1, 0.2]	8	-2	0.4
(0.2, 0.3]	10	0	0
(0.3, 0.4]	9	-1	0.1
(0.4, 0.5]	12	2	0.4

السؤال 4

السؤال 4: الفترات 6 إلى 10

الفترة	Oi	Oi - Ei	(Oi - Ei)² / Ei
(0.5, 0.6]	8	-2	0.4
(0.6, 0.7]	10	0	0
(0.7, 0.8]	14	4	1.6
(0.8, 0.9]	10	0	0
(0.9, 1.0]	11	1	0.1

السؤال 4

السؤال 4: القرار

χ₀² = 0.4 + 0.4 + 0 + 0.1 + 0.4 + 0.4 + 0 + 1.6 + 0 + 0.1 = 3.4

χ²_{0.05, 9} = 16.9

السؤال 4

خطأ في ورقة التمرين

الجزء 4

اختبار الاستقلال

اختبار الارتباط الذاتي

الأرقام التي نختبرها

i: موضع أول رقم مختبر
m: الإزاحة وهي المسافة بين رقمين مختبرين (وليست المقياس)
N: عدد القيم في المتتالية
M: أكبر عدد صحيح يبقي آخر رقم مختبر داخل المتتالية

i + (M + 1) m ≤ N

إحصاءة الارتباط الذاتي

ρ_im = 1M + 1 [ ∑ R_i+km R_i+(k+1)m ] - 0.25

σ = √(13M + 7)12 (M + 1)

Z₀ = ρ_imσ

قاعدة القرار

α = 0.05 إذن α/2 = 0.025
ابحث عن الاحتمال التراكمي 0.975 في جدول التوزيع الطبيعي
zα/2 = 1.96: فالحدان هما -1.96 و1.96

السؤال 5

السؤال 5: الأرقام في المواضع 3 و8 و13 ...

30 رقما وα = 0.05

البداية عند الرقم الثالث: i = 3
من الثالث إلى الثامن: m = 5
عدد القيم: N = 30

3 + (M + 1) × 5 ≤ 30 ⇒ 8 + 5M ≤ 30 ⇒ M ≤ 4.4 ⇒ M = 4

السؤال 5

السؤال 5: الأرقام المختبرة

الموضع	القيمة	الموضع	القيمة
R3	0.23	R18	0.27
R8	0.28	R23	0.05
R13	0.33	R28	0.36

السؤال 5

السؤال 5: حواصل الضرب الخمسة

k	الزوج	حاصل الضرب
0	0.23 × 0.28	0.0644
1	0.28 × 0.33	0.0924
2	0.33 × 0.27	0.0891
3	0.27 × 0.05	0.0135
4	0.05 × 0.36	0.0180

السؤال 5

السؤال 5: القرار

ρ₃₅ = 0.27745 - 0.25 = 0.0555 - 0.25 = -0.1945

σ = √5960 = 7.6860 = 0.128

Z₀ = -0.19450.128 = -1.5195

الجزء 5

الأخطاء الشائعة

والتدريب

الأخطاء الشائعة

المولد الخطي المتطابق يعطي أعدادا صحيحة: والرقم العشوائي هو Xi / m
اختبار KS يحتاج إلى أرقام مرتبة أولا
D+ تستخدم i/N - R(i) وD- تستخدم R(i) - (i - 1)/N
درجات الحرية في مربع كاي: n - 1 من الفترات وليس N - 1 من القيم
الإحصاءة داخل الحد تعني أننا لا نرفض H0
يقرب M إلى الأسفل: M ≤ 4.4 تعطي M = 4

تدريب

المولد الضربي Z0 = 3, a = 5, m = 16: القيم حتى يبدأ التكرار وطول الدورة
المولد الخطي المتطابق X0 = 7, a = 21, c = 13, m = 100: أول ثلاثة أرقام في [0, 1]
اختبار KS عند α = 0.05: 0.44, 0.81, 0.14, 0.05, 0.93
مربع كاي عند α = 0.05: الأعداد 12, 7, 9, 13, 9 في 5 فترات متساوية
الارتباط الذاتي على بيانات السؤال 5: الأرقام في المواضع 1 و7 و13 ...

أهم النقاط

المولد الضربي: Zi = (a Zi-1) mod m. والبذرة والمعامل الضربي والمقياس معا تحدد طول الدورة
المولد الخطي المتطابق: Xi = (a Xi-1 + c) mod m ثم Ri = Xi / m
كولموجوروف-سميرنوف: رتب ثم احسب D+ وD- ثم قارن D بـDα
مربع كاي: اجمع (Oi - Ei)² / Ei ثم قارن بالجدول عند n - 1 من درجات الحرية
الارتباط الذاتي: أوجد M ثم احسب Z0 ثم قارن بـ±zα/2
داخل الحد: الفرضية غير مرفوضة

افتح هذا الدرس

Mahmoud Abasالأرقام العشوائية: التوليد والاختبار

الخاصية

المعنى

الاختبار

الانتظام

كل جزء من [0, 1] ينال نصيبه العادل

كولموجوروف-سميرنوف ومربع كاي

الاستقلال

الرقم لا يخبر بشيء عن الأرقام التالية

الارتباط الذاتي

(11 × Z) mod 16

11 × 1 = 11 → 11

11 × 11 = 121 → 9

11 × 9 = 99 → 3

11 × 3 = 33 → 1

11 × 1 = 11 → 11

11 (تكرار)

(11 × Z) mod 16

11 × 2 = 22 → 6

11 × 6 = 66 → 2

11 × 2 = 22 → 6

6 (تكرار)

(2 × Z) mod 13

2 × 1 = 2

2 × 2 = 4

2 × 4 = 8

2 × 8 = 16 → 3

2 × 3 = 6

(2 × Z) mod 13

2 × 6 = 12

2 × 12 = 24 → 11

2 × 11 = 22 → 9

2 × 9 = 18 → 5

2 × 5 = 10

(2 × Z) mod 13

2 × 10 = 20 → 7

2 × 7 = 14 → 1

1 (تكرار)

(3 × Z) mod 13

3 × 2 = 6

3 × 6 = 18 → 5

3 × 5 = 15 → 2

2 (تكرار)

الحالة

Z0, a, m

طول الدورة

(أ)

1, 11, 16

4 = m / 4

(ب)

2, 11, 16

(ج)

1, 2, 13

12 = m - 1

(د)

2, 3, 13

8 × X + 47

216 + 47 = 263

0.63

504 + 47 = 551

0.51

408 + 47 = 455

0.55

الاختبار

الإحصاءة

الجدول

كولموجوروف-سميرنوف

D

القيم الحرجة لاختبار KS بحسب N وα

مربع كاي

χ0²

قيم مربع كاي بحسب درجات الحرية وα

R(i)

i / N

i / N - R(i)

0.11

0.20

0.09

0.54

0.40

-0.14

0.68

0.60

-0.08

0.73

0.80

0.07

0.98

1.00

0.02

R(i)

(i - 1) / N

R(i) - (i - 1) / N

0.11

0.00

0.11

0.54

0.20

0.34

0.68

0.40

0.28

0.73

0.60

0.13

0.98

0.80

0.18

الفترة

Oi - Ei

(Oi - Ei)² / Ei

[0, 0.1]

-2

0.4

(0.1, 0.2]

-2

0.4

(0.2, 0.3]

(0.3, 0.4]

-1

0.1

(0.4, 0.5]

0.4

الفترة

Oi - Ei

(Oi - Ei)² / Ei

(0.5, 0.6]

-2

0.4

(0.6, 0.7]

(0.7, 0.8]

1.6

(0.8, 0.9]

(0.9, 1.0]

0.1

الموضع

القيمة

الموضع

القيمة

0.23

R18

0.27

0.28

R23

0.05

R13

0.33

R28

0.36

الزوج

حاصل الضرب

0.23 × 0.28

0.0644

0.28 × 0.33

0.0924

0.33 × 0.27

0.0891

0.27 × 0.05

0.0135

0.05 × 0.36

0.0180