محمود عباس، مهندس برمجيات Full-stack والذكاء الاصطناعي

النمذجة والمحاكاة - الدرس 5

محاكاة مونت كارلو

أرقام عشوائية نقرؤها طلبا وعلاجا وزمن خدمة: حل التمرين 5 خطوة بخطوة.

الأهداف

تحويل جدول التكرار إلى فترات أرقام عشوائية (random number intervals)
حساب متوسط الطلب وزمن التوريد وانحرافهما المعياري ثم كمية الطلب الاقتصادية EOQ ومستوى إعادة الطلب ROL
بناء جدول محاكاة المخزون وتحديد موعد الطلبية
محاكاة طابور مجدول وإيجاد متوسط زمن الانتظار
توليد متغيرات عشوائية أسية (exponential variates) باستخدام التحويل العكسي (inverse transform)
استخدام المولد المتطابق المختلط (mixed congruential generator) لمحاكاة مصنع

الجزء 1

التحكم في المخزون

المثال 1: الطلب وزمن التوريد وموعد الطلبية

المثال 1

المسألة

نعرف الطلب (demand) في آخر 100 يوم
ونعرف زمن التوريد (lead time) الذي وصلت فيه الكمية المطلوبة
ونحتاج إلى الطلب في الأيام القادمة وزمن التوريد المحتمل وموعد الطلبية

المثال 1

البيانات

زمن التوريد	التكرار
3 أيام	28%
4 أيام	44%
5 أيام	28%

المثال 1

التكاليف

الرمز	تكلفة	القيمة
`C0`	إصدار طلبية	100 جنيه/طلبية
`Ci`	الاحتفاظ بصنف في المخزون	0.1 جنيه/وحدة/يوم
`Cs`	العجز	5 جنيهات/وحدة

المثال 1

متوسط الطلب

μ_D = ∑ D_in

μ_D = 4523100

μ_D = 45.23

المثال 1

الانحراف المعياري للطلب

σ_D = √∑ D_i² - n (μ_D)²n - 1

214077 - 100 (45.23)²

= 9501.71

σ_D = √9501.7199

σ_D = 9.8

المثال 1

متوسط زمن التوريد

28 × 3 + 44 × 4 + 28 × 5

= 84 + 176 + 140 = 400

μ_L = 400100 = 4

المثال 1

الانحراف المعياري لزمن التوريد

28 (3)² + 44 (4)² + 28 (5)²

- 100 (4)² = 56

σ_L = √5699

σ_L = 0.75

متوسط زمن التوريد

خطأ في ورقة التمرين

المثال 1

المدرج التكراري للطلب

صنف الطلب في فترات: 20 - 24 ثم 25 - 29 حتى 70 - 74
احسب التكرار (frequency) والتكرار التراكمي (cumulative frequency) لكل فترة
خصص أرقاما عشوائية من خانتين من 00 إلى 99 بحسب التكرار
لتوقع الطلب خذ القيمة المتوسطة لفترته

المثال 1

تكرارات الطلب: الجزء 1 من 3

الفترة	المتوسط	التكرار	التراكمي
20 - 24	22	1	1
25 - 29	27	3	4
30 - 34	32	12	16
35 - 39	37	10	26

المثال 1

تكرارات الطلب: الجزء 2 من 3

الفترة	المتوسط	التكرار	التراكمي
40 - 44	42	26	52
45 - 49	47	17	69
50 - 54	52	13	82
55 - 59	57	12	94

المثال 1

تكرارات الطلب: الجزء 3 من 3

الفترة	المتوسط	التكرار	التراكمي
60 - 64	62	2	96
65 - 69	67	2	98
70 - 74	72	2	100

المثال 1

أرقام الطلب العشوائية: الجزء 1 من 3

المتوسط	التراكمي	الأرقام العشوائية
22	1	00
27	4	01 - 03
32	16	04 - 15
37	26	16 - 25

المثال 1

أرقام الطلب العشوائية: الجزء 2 من 3

المتوسط	التراكمي	الأرقام العشوائية
42	52	26 - 51
47	69	52 - 68
52	82	69 - 81
57	94	82 - 93

المثال 1

أرقام الطلب العشوائية: الجزء 3 من 3

المتوسط	التراكمي	الأرقام العشوائية
62	96	94 - 95
67	98	96 - 97
72	100	98 - 99

مدى الطلب

خطأ في ورقة التمرين

المثال 1

أرقام زمن التوريد العشوائية

زمن التوريد	التكرار	التراكمي	الأرقام العشوائية
3	28	28	00 - 27
4	44	72	28 - 71
5	28	100	72 - 99

المثال 1

كمية الطلب الاقتصادية (EOQ)

EOQ = √2 μ_D C₀C_i

EOQ = √2 × 45.23 × 1000.1

EOQ ≈ 300

المثال 1

مستوى إعادة الطلب (ROL)

ROL = μ_D μ_L

+ K √(μ_L σ_D² + μ_D² σ_L²)

K	احتمال العجز	التأكد من عدم العجز
1.65	5%	95%
2.33	1%	99%

المثال 1

مستوى إعادة الطلب: الأجزاء

عند K = 1.65

μ_D μ_L = 45.23 × 4 = 180.92

4 (9.8)² + (45.23)² (0.75)²

= 1534.90

√1534.90 = 39.18

المثال 1

مستوى إعادة الطلب: الناتج

عند K = 1.65

ROL = 180.92 + 1.65 × 39.18

ROL ≈ 245.6

تقريب ROL

خطأ في ورقة التمرين

المثال 1

بدء المحاكاة

نستخدم EOQ = 300 مع ROL = 245 وحدة
المخزون الابتدائي 300 وحدة مساء الجمعة
تبدأ المحاكاة من يوم الاثنين
تأتي الأرقام العشوائية من 00 إلى 99 من Excel أو من مولد آخر

Excel

خطأ في ورقة التمرين

المثال 1

الأرقام العشوائية

الاستخدام	الأرقام العشوائية
الطلب	81, 78, 89, 59, 40, 33, 60, 67, 19, 21
زمن التوريد	65, 67, 22

الأرقام العشوائية المذكورة

خطأ في ورقة التمرين

المثال 1

قواعد الجدول

المخزون الابتدائي = المخزون النهائي السابق
المخزون النهائي = المخزون الابتدائي - الطلب اليومي + الكمية المستلمة
الكمية المتاحة + الطلبية = المخزون النهائي + الطلبية التي في الطريق
إذا هبطت هذه الكمية تحت ROL فاطلب EOQ واسحب زمن توريد

المثال 1

الطلب: الأسبوع 1

اليوم	الابتدائي	الرقم	الطلب
الاثنين	300	81	52
الثلاثاء	248	78	52
الأربعاء	196	89	57
الخميس	139	59	47
الجمعة	92	40	42

المثال 1

الطلب: الأسبوع 2

اليوم	الابتدائي	الرقم	الطلب
الاثنين	50	33	42
الثلاثاء	308	60	47
الأربعاء	261	67	47
الخميس	214	19	37
الجمعة	177	21	37

المثال 1

المخزون النهائي: الأسبوع 1

اليوم	العجز	المستلم	النهائي
الاثنين	-	-	248
الثلاثاء	-	-	196
الأربعاء	-	-	139
الخميس	-	-	92
الجمعة	-	-	50

المثال 1

المخزون النهائي: الأسبوع 2

اليوم	العجز	المستلم	النهائي
الاثنين	-	300	308
الثلاثاء	-	-	261
الأربعاء	-	-	214
الخميس	-	-	177
الجمعة	-	-	140

(50 - 42) + 300 = 308

المثال 1

متى نصدر الطلبية؟

المثال 1

الطلبيات: الأسبوع 1

اليوم	المتاح + الطلبية	المطلوب	زمن التوريد (الرقم)
الاثنين	248	0	-
الثلاثاء	196	300	4 (65)
الأربعاء	439	0	-
الخميس	392	0	-
الجمعة	350	0	-

المثال 1

الطلبيات: الأسبوع 2

اليوم	المتاح + الطلبية	المطلوب	زمن التوريد (الرقم)
الاثنين	308	0	-
الثلاثاء	261	0	-
الأربعاء	214	300	4 (67)
الخميس	477	0	-
الجمعة	440	0	-

الكمية المتاحة + الطلبية

خطأ في ورقة التمرين

المثال 1

متى تصل الطلبية

زمن توريد 4 أيام عمل من الثلاثاء: تصل يوم الاثنين التالي
المخزون النهائي يوم الاثنين التالي: 308 وحدة
الطلبية الثانية الصادرة يوم الأربعاء تصل يوم الثلاثاء التالي بعد الأيام العشرة في الجدول

(50 - 42) + 300 = 308

المثال 1

التكاليف في مدة معينة

الجزء 2

عيادة طبيب الأسنان

المثال 2: طابور بوصول مجدول

المثال 2

المسألة

أوجد متوسط زمن الانتظار للعملاء
تبدأ المحاكاة عند 8:00
الوصول مجدول: عميل كل 30 دقيقة ابتداء من 8:00
وقد يكون الوصول في حالات أخرى عشوائيا بحسب توزيع احتمالي
يأتي كل عميل لواحد من خمسة علاجات

المثال 2

الخدمات الخمس

الخدمة	الزمن (دقيقة)	الاحتمال
حشو	40	0.40
تاج	60	0.15
تنظيف	15	0.15
خلع	45	0.10
فحص	15	0.20

المثال 2

فترات الأرقام العشوائية

الخدمة	الاحتمال	التراكمي	الفترة
حشو	0.40	0.40	00 - 39
تاج	0.15	0.55	40 - 54
تنظيف	0.15	0.70	55 - 69
خلع	0.10	0.80	70 - 79
فحص	0.20	1.00	80 - 99

المثال 2

أي خدمة: المرضى 1 إلى 4

المريض	الوصول	الرقم	الخدمة (دقيقة)
1	8:00	40	تاج (60)
2	8:30	82	فحص (15)
3	9:00	11	حشو (40)
4	9:30	34	حشو (40)

المثال 2

أي خدمة: المرضى 5 إلى 8

المريض	الوصول	الرقم	الخدمة (دقيقة)
5	10:00	25	حشو (40)
6	10:30	66	تنظيف (15)
7	11:00	17	حشو (40)
8	11:30	79	خلع (45)

المثال 2

قواعد الجدول

تبدأ الخدمة عند الأحدث بين الوصول ونهاية الخدمة السابقة
تنتهي الخدمة عند البداية + زمن الخدمة
زمن الانتظار = بداية الخدمة - الوصول

المثال 2

أزمنة الانتظار: المرضى 1 إلى 4

المريض	الخدمة (دقيقة)	البداية	النهاية
1	60	8:00	9:00
2	15	9:00	9:15
3	40	9:15	9:55
4	40	9:55	10:35

المريض	الوصول	البداية	الانتظار (دقيقة)
1	8:00	8:00	0
2	8:30	9:00	30
3	9:00	9:15	15
4	9:30	9:55	25

المثال 2

أزمنة الانتظار: المرضى 5 إلى 8

المريض	الخدمة (دقيقة)	البداية	النهاية
5	40	10:35	11:15
6	15	11:15	11:30
7	40	11:30	12:10
8	45	12:10	12:55

المريض	الوصول	البداية	الانتظار (دقيقة)
5	10:00	10:35	35
6	10:30	11:15	45
7	11:00	11:30	30
8	11:30	12:10	40

المثال 2

متوسط زمن الانتظار

0 + 30 + 15 + 25 + 35

+ 45 + 30 + 40 = 220

2208 = 27.5

الجزء 3

التحويل العكسي

المثال 3: التوزيع الأسي

المثال 3

دالة التوزيع

F(x) = 1 - e^-x/β if x ≥ 0

F(x) = 0 otherwise

المثال 3

إيجاد الدالة العكسية

u = 1 - e^-x/β

F^-1(u) = -β ln (1 - u)

المثال 3

توليد المتغير العشوائي

أنشئ U ~ U(0, 1)
اجعل X = -β ln U
تحل U محل 1 - U لأن لهما التوزيع U(0, 1) نفسه

الجزء 4

طابور أسي

المثال 4: أزمنة وصول وخدمة عشوائية

المثال 4

المسألة

زمن ما بين الوصول أسي بمتوسط β1 = 2
زمن الخدمة أسي بمتوسط β2 = 1.33
أنشئ الجدول لـ8 عملاء وأوجد متوسط زمن الانتظار

المثال 4

معادلات التحويل العكسي

X_i = -β₁ ln U₁

Y_i = -β₂ ln U₂

Xi زمن ما بين الوصول أما Yi فهو زمن الخدمة
تقع U1 مع U2 في الفترة من 0 إلى 1
اقسم كل رقم من خانتين على 100: U1 = u1 / 100 ثم U2 = u2 / 100

المثال 4

العميل الأول

المتتالية	الأرقام العشوائية
u1	20, 23, 86, 09, 92, 35, 38, 01
u2	21, 44, 27, 70, 73, 36, 59, 42

X₁ = -2 ln (0.20) = 3.22

Y₁ = -1.33 ln (0.21) = 2.08

المثال 4

الوصول: العملاء 1 إلى 4

العميل	u1	Xi	الوصول
1	20	3.22	3.22
2	23	2.94	6.16
3	86	0.30	6.46
4	09	4.82	11.28

3.22 + 2.94 = 6.16

المثال 4

الوصول: العملاء 5 إلى 8

العميل	u1	Xi	الوصول
5	92	0.17	11.45
6	35	2.10	13.55
7	38	1.94	15.49
8	01	9.21	24.70

المثال 4

أزمنة الخدمة: العملاء 1 إلى 4

العميل	u2	U2	Yi
1	21	0.21	2.08
2	44	0.44	1.09
3	27	0.27	1.74
4	70	0.70	0.47

المثال 4

أزمنة الخدمة: العملاء 5 إلى 8

العميل	u2	U2	Yi
5	73	0.73	0.42
6	36	0.36	1.36
7	59	0.59	0.70
8	42	0.42	1.15

أزمنة الخدمة

خطأ في ورقة التمرين

المثال 4

قواعد الجدول

تبدأ الخدمة عند الأحدث بين الوصول والمغادرة السابقة
المغادرة = بداية الخدمة + Yi
زمن الانتظار = بداية الخدمة - الوصول

7.25 - 6.46 = 0.79

المثال 4

المغادرة: العملاء 1 إلى 4

العميل	الوصول	المغادرة	الانتظار
1	3.22	5.30	0
2	6.16	7.25	0
3	6.46	8.99	0.79
4	11.28	11.75	0

المثال 4

المغادرة: العملاء 5 إلى 8

العميل	الوصول	المغادرة	الانتظار
5	11.45	12.17	0.30
6	13.55	14.91	0
7	15.49	16.19	0
8	24.70	25.85	0

المثال 4

متوسط زمن الانتظار

0.79 + 0.308 = 1.098 ≈ 0.14

الجزء 5

التصنيع

المثال 5: الوحدات المنتجة والمركبات المتاحة

المثال 5

الوحدات المنتجة

الوحدات Xi	P(x = Xi)	الفترة u1
500	0.06	00 - 05
550	0.14	06 - 19
600	0.20	20 - 39
650	0.40	40 - 79
700	0.20	80 - 99

المثال 5

المركبات المتاحة

المركبات Yi	P(y = Yi)	الفترة u2
5	0.16	00 - 15
6	0.36	16 - 51
7	0.20	52 - 71
8	0.16	72 - 87
9	0.12	88 - 99

المثال 5

المولد المتطابق المختلط

X_i = (a X_i-1 + c) mod m

المتتالية	a	c	البذرة X0
u1	21	3	20
u2	41	7	1

الصيغة

خطأ في ورقة التمرين

X_i = a X_i-1 + c mod (m)

X_i = (a X_i-1 + c) mod m

المثال 5

المتتالية u1: من X1 إلى X5

i	21 × X + 3	Xi
X1	21 × 20 + 3 = 423	23
X2	21 × 23 + 3 = 486	86
X3	21 × 86 + 3 = 1809	09
X4	21 × 9 + 3 = 192	92
X5	21 × 92 + 3 = 1935	35

المثال 5

المتتالية u1: من X6 إلى X9

i	21 × X + 3	Xi
X6	21 × 35 + 3 = 738	38
X7	21 × 38 + 3 = 801	01
X8	21 × 1 + 3 = 24	24
X9	21 × 24 + 3 = 507	07

المثال 5

المتتالية u2: من X1 إلى X5

i	41 × X + 7	Xi
X1	41 × 1 + 7 = 48	48
X2	41 × 48 + 7 = 1975	75
X3	41 × 75 + 7 = 3082	82
X4	41 × 82 + 7 = 3369	69
X5	41 × 69 + 7 = 2836	36

المثال 5

المتتالية u2: من X6 إلى X9

i	41 × X + 7	Xi
X6	41 × 36 + 7 = 1483	83
X7	41 × 83 + 7 = 3410	10
X8	41 × 10 + 7 = 417	17
X9	41 × 17 + 7 = 704	04

المثال 5

الوحدات: الأيام 1 إلى 5

اليوم	الرقم	الوحدات
1	20	600
2	23	600
3	86	700
4	09	550
5	92	700

المثال 5

الوحدات: الأيام 6 إلى 10

اليوم	الرقم	الوحدات
6	35	600
7	38	600
8	01	500
9	24	600
10	07	550

المثال 5

المركبات: الأيام 1 إلى 5

اليوم	الرقم	المركبات
1	01	5
2	48	6
3	75	8
4	82	8
5	69	7

المثال 5

المركبات: الأيام 6 إلى 10

اليوم	الرقم	المركبات
6	36	6
7	83	8
8	10	5
9	17	6
10	04	5

المثال 5

المتوسطات

600010 = 600 units/day

6410 = 6.4 vehicles/day

الجزء 6

الأخطاء الشائعة

والتدريب

الأخطاء الشائعة

الطلب الناتج من فترة هو متوسطها: 81 يعطي 52 وليس 50 أو 54
الحدود: 40 تاج لأن الحشو ينتهي عند 39
قارن ROL بالكمية المتاحة + الطلبية وليس بالمخزون النهائي وحده
احسب زمن التوريد بأيام العمل: 4 أيام من الثلاثاء هي الاثنين التالي
تبدأ الخدمة عند الأحدث بين الوصول ونهاية الخدمة السابقة
اقسم u على 100 قبل ln وأبق على إشارة السالب في X = -β ln U

تدريب

جداول المثال 1: الطلب عند 94, 51, 37 وزمن التوريد عند 20, 71, 72
تكلفة الاحتفاظ وتكلفة إصدار الطلبيات لجدول المخزون ذي الأيام العشرة
طبيب الأسنان وأربعة مرضى من 8:00: الأرقام العشوائية 39, 55, 80, 70
الطابور الأسي: u1 = 50, 90, 40 مع u2 = 30, 60, 80
المتتالية u1 مع البذرة X0 = 5: الوحدات المنتجة في 4 أيام

أهم النقاط

تأخذ الفترة من الأرقام ذات الخانتين بقدر تكرارها وتنتهي عند تكرارها التراكمي ناقص 1
تحدد EOQ مقدار الطلبية ويحدد ROL موعدها
تحتسب الطلبية من اليوم التالي لإصدارها وتدخل المخزون يوم وصولها
زمن الانتظار = بداية الخدمة - الوصول
المتغير الأسي: X = -β ln U من التحويل العكسي
المولد المتطابق المختلط: القيمة التالية من X هي (aX + c) mod m

افتح هذا الدرس

Mahmoud Abasمحاكاة مونت كارلو